Condición de frontera de Dirichlet y Neumann: ejemplo físico

Hay un libro estándar que contiene todo sobre electrostática, la ecuación de Laplace/Poisson y las condiciones de contorno: Electrodinámica clásica de JD Jackson. Obtenga el libro de la biblioteca de su elección, lea todos los capítulos etiquetados como "Electrostática" y encontrará las respuestas a todas sus preguntas (si está simulando esto, necesita saber todo esto de todos modos).

La naturaleza de la condición de contorno depende del sistema que esté describiendo. Significa algo más si está calculando el flujo de calor que la electrostática, ¡obviamente!

Digamos que tiene una ecuación diferencial (por ejemplo, la ecuación de Poisson$\Delta\varphi(\vec r)=-\frac{\varrho(\vec r)}{\varepsilon_0}$describiendo la electrostática, y lo resuelves para la función$\varphi(\vec r)$. En los límites de la región (por ejemplo, un cilindro, un cubo, etc.) tienes que fijar alguna propiedad de$\varphi(\vec r)$.

• Condición de frontera de Neumann: usted arregla$\frac{\partial\varphi(\vec r)}{\partial\vec n}=\text{const}$a lo largo de la frontera, donde$\vec n$es el vector normal a la superficie. Básicamente es la derivada de$\varphi$si te alejas directamente de la superficie. Puede ser un valor diferente para cada$\vec r$.
• Condición de frontera de Dirichlet: usted arregla$\varphi(\vec r)=\text{const}$. Puede ser un valor diferente para cada$\vec r$.

Solo puede corregir uno de esos dos, o la suma (esto se llama condición de límite de Robin).

Ejemplos físicos de electrostática:

• Condición de contorno de Neumann: La derivada antes mencionada es constante si hay una cantidad fija de carga en una superficie, es decir$\frac{\partial\varphi(\vec r)}{\partial\vec n}=\sigma(\vec r)$.
• Condición de frontera de Dirichlet: El potencial electrostático$\varphi(\vec r)$es fijo si tiene una placa de capacitor que conectó a una fuente de voltaje. Por ejemplo, si tiene dos placas de condensador que están a 0 V y 5 V, respectivamente, establecería$\varphi(\vec r)=0$en el primer plato y$\varphi(\vec r)=5$en el segundo plato. De esa manera, puedes calcular la capacitancia.

Para el flujo de calor , la fijación del campo$u$(=Dirichlet BC) significa fijar la temperatura. Si tiene elementos en su sistema que tienen una temperatura fija, usaría ese.

Si sus lentes se basan en la electrostática, probablemente solo tengan condiciones de contorno de Dirichlet, porque así es como describe una placa de condensador. Si tiene límites exteriores que no son placas de capacitor, debe usar un Neumann BC = 0 (en este caso, no tiene nada que ver con fijar la carga), porque ese es el mejor BC para simular un sistema "infinito".

La respuesta de Zonk es muy buena, y confío en que se entienda que Dirichlet BC especifica el valor de una función en un conjunto de puntos, y Neumann BC especifica el gradiente de la función en algún conjunto de puntos .

Agregaré este ejemplo adicional como se describe aquí , y cubre la importancia de las condiciones de contorno en nuestra comprensión de la dualidad T en la teoría de supercuerdas.

En esta situación tenemos el requisito de que en una cuerda abierta, la cantidad de movimiento no se escape de la cuerda (por ejemplo, permanece conservada y no se escapa al espacio). Esta restricción se representa como condiciones de contorno de Neumann:

$$\dfrac{\partial X^\mu}{\partial \sigma}\bigg|_{\sigma=0} = \dfrac{\partial X^\mu}{\partial \sigma}\bigg|_{\sigma=\pi}=0$$ $$\mu = 0,1,\dots,d-1$$

Lo que básicamente es una declaración de que el cambio de posición con respecto a los límites en todas las dimensiones se fija en cero.

Si queremos describir las condiciones de contorno para una teoría T-dual donde algún número$p$las dimensiones se dejan no compactas y el resto se compacta en un toro, convertiríamos algunas condiciones de contorno de Neumann BC a Dirichlet BC y escribiríamos:

$$\dfrac{\partial X^\mu}{\partial \sigma}\bigg|_{\sigma=0} = \dfrac{\partial X^\mu}{\partial \sigma}\bigg|_{\sigma=\pi}=0$$ $$\mu = 0,1,\dots,p$$ Para las dimensiones no compactas, y:

$$X^\mu(\tau,0) = X^\mu(\tau,\pi)=X^\mu_0$$ $$\mu = p+1,\dots,d-1$$

Por las dimensiones compactadas.

Este es entonces un ejemplo de una situación en la que algunas variables respetan a Neumann BC y otras respetan a Dirichlet BC.