Un problema electrostático para dos discos en R2R2\mathbb{R}^2: ¿cómo se puede representar la solución?

El problema de Laplace electrostático para el exterior de un disco se puede resolver de manera sencilla mediante la separación de variables. Supongamos que tenemos un disco unitario$\Omega$con una densidad de carga de$f$en el límite Entonces la solución al problema exterior,

$$\begin{align} & \Delta v(x) = 0 \quad \quad x\in \mathbb{R}^2\setminus \overline{\Omega}, \\ & v |_{\partial D}(x) = f, \end{align}$$ se da a través de la separación de variables como $$v(x) = v(r,\theta) = \sum_{n=0}^\infty r^{-n}(a_n \cos(n\theta)+b_n \sin(n\theta)),$$ dónde $$a_n = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(\theta)\cos(n\theta) d\theta, \\ b_n = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(\theta)\sin(n\theta) d\theta.$$ Pero ¿qué pasa con el caso en que tenemos dos discos $\Omega_1$y $\Omega_2$, y queremos determinar la solución al problema de Laplace exterior para una densidad de carga $f$, con $f$definido en la unión de los discos $D=\Omega_1\cup \Omega_2$? Digamos, por ejemplo, que los discos tienen radio $1$y son simétricas en el $x_1$eje con una distancia de $6$entre ellos.

¿Podemos simplemente definir dos nuevos orígenes?$O_1$y$O_2$en el centro de los discos, con coordenadas polares asociadas$(r_1,\theta_1)$y$(r_2,\theta_2)$y luego decir lo siguiente:

$$v(x) = \sum_{n=0}^\infty r_1^{-n}(a_n \cos(n\theta_1)+b_n \sin(n\theta_1)) + \sum_{n=0}^\infty r_2^{-n}(a_n \cos(n\theta_2)+b_n \sin(n\theta_2)).$$ ¿Es esta una solución válida? ¿Si no, porque no?