Pregunta sobre la condición de contorno para las ecuaciones de Maxwell y la ley de Coulomb

Al derivar la ley de Coulomb usando las formas diferenciales de la ecuación de Maxwell, la condición de frontera que ϕ = 0 También se utiliza en el infinito.

De ∇ × mi = 0 , mi = ∇ ϕ para algunos V , conectando esto a la ley de Gauss obtenemos la ecuación de Poisson ∇ 2 ϕ = ρ / mi 0 , o ∇ 2 ϕ = q d | r − r 0 | / mi 0 por una carga puntual. La solución general es ϕ = 1 4 π ϵ 0 q | r − r 0 | + F dónde F es una función armónica que satisface la ecuación de Laplace. Tenemos que invocar la condición de que en el infinito ϕ = 0 para F ( X ) desaparecer y, por lo tanto, que se cumpla la ley de Coulomb.

Las ecuaciones de Maxwell y la ley de fuerza de Lorentz resumen toda la electrodinámica, y esas condiciones de contorno provienen de las restricciones en el problema de consideración. La situación en consideración es una carga puntual en el espacio vacío, entonces, ¿qué principio físico motiva esta condición límite, que ϕ = 0 ?

ϕ = 0 en el infinito es arbitrario, no importa, todos los cambios en el potencial son iguales y todos producen el mismo campo E.
Mira mis comentarios a continuación.

Respuestas (2)

De hecho, las ecuaciones de Maxwell y la ley de fuerza de Lorentz resumen toda la electrodinámica. Sin embargo, hay situaciones físicas en las que no conoces la distribución de carga a priori, sino que especificas algunas superficies en las que el campo eléctrico siempre es normal, lo que sucede cuando tienes metales alrededor.

En tales situaciones, en principio, puede resolver las tres ecuaciones diferenciales parciales para mi X , mi y y mi z en tres variables X , y , y z , con las condiciones de contorno de Dirichlet especificadas. Todo lo que hizo la introducción del potencial fue convertir este horrible sistema de PDE con Dirichlet BC en un solo PDE con Neumann BC. Así que es sólo un truco matemático. Todo el significado físico todavía está en mi solo (clásicamente).

Ahora, una vez que accedió a presentar ϕ para hacer su vida más fácil, tiene que imponer las mismas condiciones de contorno que de otro modo habría impuesto a mi sí mismo. Para una partícula puntual sin introducir ϕ , para resolver las PDE había que imponer mi → 0 como r → ∞ . Esto implica ϕ → constante como r → ∞ . Pero entonces podemos elegir esta constante a nuestra disposición porque físicamente no tiene sentido (solo la diferencia de potencial tiene sentido).

Gracias por la respuesta. ¿Cómo se puede derivar la ley de Coloum a partir de la ley de Maxwell y la ley de Lorentz sin recurrir a ambigüedades o suposiciones? ¿Hay un enlace? La mayoría de los libros de texto incluyen una prueba usando la forma integral de las ecuaciones de Maxwell, pero se asume la simetría esférica del campo eléctrico, sin justificación.
Además, ¿tendría sentido elegir una condición de frontera diferente tal que F ( X ) es una función no constante?
Mi respuesta fue engañosa, la editaré.
La justificación de la simetría esférica al derivar la ley de Coulomb usando la ley de Gauss es inevitable, porque si una carga esféricamente simétrica resultara en un campo eléctrico asimétrico, esta sería una declaración muy no trivial sobre la permitividad eléctrica del vacío.
Gracias por la reedición. Por que mi → 0 como r → ∞ ? ¿Existen situaciones en las que mi no es cero en r = ∞ , o me estoy perdiendo algo obvio?
Para ser precisos, tiene que desaparecer al menos tan rápido como 1 / r , porque: 1- porque de lo contrario esto implicaría que puedes sentir un electrón en Andrómeda. 2 - Esto implicaría que la energía eléctrica almacenada en el campo electromagnético de una pequeña carga sería infinita (olvidándonos ahora de la energía exactamente cerca de la carga puntual).
Una situación en la que mi ≠ 0 en r → ∞ es el problema hipotético que ve en la electrostática donde tiene un cable "infinito" con carga uniforme. O una hoja cargada uniformemente "infinita".
Entonces mi tiene que desaparecer en r → ∞ porque de lo contrario se violará la conservación de la energía? En otras palabras, es la condición de contorno mi → 0 como r → ∞ motivado por el principio físico de conservación de la energía?
No. Tiene que ver con el sentido común y la experiencia cotidiana, que una pequeña carga no puede producir una energía infinita que impregne todo el universo.
Bueno. Así que se debe usar el sentido común junto con las ecuaciones de Maxwell para derivar la ley de Coloumb. ¿Significa eso que la ley de Coloumb no está completamente contenida dentro de las ecuaciones de Maxwell y la ecuación de Lorentz, pero también con el hecho de que una pequeña carga no puede producir una energía infinita?
Llevemos esta discusión al chat. Muchas gracias por responder a mis consultas.
tenga en cuenta mi = 0 , R = ∞ no tiene que ser el caso cuando se considera la electrodinámica. Antecedentes Pueden existir soluciones EM que no sean cero, que no se limiten a soluciones constantes, sino que sean soluciones inherentes de tipo ondular "etiquetadas en" los campos "producidos" por carga. Estos campos están determinados por las condiciones iniciales del universo y no por la ubicación de las cargas y corrientes.
En el contexto de la electrodinámica (y técnicamente la electrostática): también PODEMOS sentir los campos de un electrón en Andrómeda, de lo contrario no podríamos ver la luz desde allí.
La ley de Coulomb se puede derivar de las ecuaciones de Maxwell utilizando solo la ley de Gauss y suposiciones. También se puede derivar directamente de las ecuaciones de Maxwells y una densidad de carga de q d 3 ( r )

La causalidad requiere que cualquier efecto físico fuera del cono de luz de una carga desaparezca. Entonces, ya sea que crea o no que puede agregar una constante arbitraria o un campo de indicador, ϕ = 0 en el infinito tiene sentido.

Pregunta sobre la condición de contorno para las ecuaciones de Maxwell y la ley de Coulomb
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v