¿Por qué necesitamos una segunda ecuación para el campo eléctrico en la Ecuación de Maxwell?

Su declaración es correcta dentro de su estipulación de cargos estacionarios y sin campos magnéticos variables en el tiempo.

Fuera de los casos restringidos en los que a) no hay campos magnéticos variables en el tiempo yb) el campo eléctrico es conservativo, es decir, es el gradiente de un potencial escalar, necesitamos la ecuación rotacional

$$\nabla \times \vec E = - \frac {\partial \vec B} {\partial t}$$

para explicar los resultados de experimentos adicionales (comenzando con Faraday), a saber, aquellos que involucran campos eléctricos resultantes de la inducción electromagnética en un campo magnético variable en el tiempo.

Este es un problema electrostático. Esto significa, como usted mencionó, que

$$\nabla \times{\vec E}=0$$ lo que equivale a la existencia de un potencial electrostático $\Phi(\vec r)$de modo que $$\vec E(\vec r)=-\nabla \Phi(\vec r)$$ Insertando esto en $$\nabla \vec { E } =\frac { \rho }{ {\epsilon }_{ 0 } } \tag{I}$$ rendimientos $$\Delta \Phi =-\frac { \rho }{ { \epsilon }_{ 0 } }$$ que es la ecuación de Poisson para el potencial electrostático. Esto tiene una solución única para $\vec E=-\nabla {\Phi}\rightarrow 0$cuando $\vec { r } \rightarrow \infty$.

Otro punto de vista es que, matemáticamente, usando la función de Green de la ecuación (I), que corresponde a la ley de Coulomb, una solución a la ecuación (I) con la condición de contorno$\vec E\rightarrow 0$cuando$\vec { r } \rightarrow \infty$es

$$\vec E(\vec r)= \int {\frac{\rho(\vec r') (\vec r - \vec r')d^3r'}{4 \pi \epsilon_0|\vec r - \vec r'|^3}}$$

Nota: la ecuación (I) también se conoce como la forma diferencial de la ley de Gauss. La Ley de Gauss es equivalente a la Ley de Coulomb. La ley de Gauss se deriva de la ley de Coulomb y viceversa.

".... la pregunta es que la ecuación de divergencia es una PDE de primer orden, por lo que al proporcionar suficientes condiciones de contorno, deberíamos poder determinar el campo, ¿verdad?"

No tan. Como se mencionó en los comentarios, la respuesta a esta pregunta es esencialmente sobre la descomposición de Helmholtz, pero en realidad profundicemos en parte en cierta prueba de esta descomposición que muestra de manera muy clara, geométrica e intuitiva cuál es el problema, al menos para una gran clase de vector. campos, a saber, aquellos que tienen transformada de Fourier, como se discutió en mi respuesta aquí .

Imagine la descomposición de Fourier de un campo vectorial$\vec{F}(\vec{k})$, una función del vector de onda de onda plana$\vec{k}$, es decir, descomponemos una función vectorial$\vec{f}(\vec{r})$de posición$\vec{r}$en una superposición de campos vectoriales de ondas planas de la forma$\vec{F}(\vec{k})\,\exp(i\,\vec{k}\cdot\vec{r})$.

Ahora, ¿cómo se ven la divergencia y el rotacional en el espacio de Fourier?$\nabla\cdot \vec{f}$tiene la transformada de Fourier$\vec{k}\cdot\vec{F}$y$\nabla\times \vec{f}$tiene la transformacion$\vec{k}\times\vec{F}$; deberías poder probar esto de manera bastante directa.

Así que ahora, haga su pregunta en términos de espacio de Fourier. Es, "¿por qué podemos determinar el vector$\vec{F}$de$\vec{k}\cdot\vec{F}$solo?". Debe quedar muy claro que esto no se puede hacer; necesitamos saber los componentes de$\vec{F}$que son ortogonales a$\vec{k}$y estos se pueden asignar esencialmente de forma independiente, ya que la divergencia de un campo vectorial en todas partes ortogonal a$\vec{k}$desaparece

En general, se puede asignar un campo escalar suave en el espacio de Fourier$g(\vec{k})$y un segundo campo vectorial suave$\vec{H}(\vec{k})$que es en todas partes ortogonal a$\vec{k}$, pero por lo demás arbitrario. Como analizo en esta respuesta aquí y aquí , la información$g(\vec{k})$y$\vec{H}(\vec{k})$son exactamente la información para determinar un campo vectorial$\vec{F}$tal que:

$$g(\vec{k}) = \vec{k}\cdot\vec{F}(\vec{k})$$ $$\vec{H}(\vec{k})= \vec{k}\times \vec{F}(\vec{k})$$

Entonces, la respuesta a su pregunta es esencialmente que la condición de divergencia le dice solo el componente del campo vectorial que está a lo largo del vector de onda; falta la parte solenoidal , la ortogonal al vector de onda (tiene divergencia cero) y se puede asignar de forma independiente.