¿Necesitamos un dominio acotado para que la ecuación de Laplace tenga una solución distinta de cero uuu?

Como se trata de todo el espacio, puede aprovechar el llamado teorema de Liouville para funciones armónicas.

Teorema de Liouville . Dejar$\phi : \mathbb R^n \to \mathbb R$ser un$C^2$función tal que$\Delta \phi =0$en todos lados. Si$\phi$está acotado (es decir, hay$k \in [0,+\infty)$tal que$|\phi(x)| \leq k$para cada$x \in \mathbb R^n$), entonces$\phi$es constante en todas partes.

Esto tiene un par de corolarios.

Corolario 1. Dejar$\phi : \mathbb R^n \to \mathbb R$ser un$C^2$función tal que$\Delta \phi =0$en todos lados. Si$\phi$está delimitado y$\phi(a n) \to 0$como$a \to +\infty$, dónde$n \in \mathbb R^n$es un vector unitario fijo, entonces$\phi=0$.

prueba _$\phi$está acotado, por lo tanto$\phi(x)=c$constantemente debido al teorema de Liouville.$c = \lim_{a\to +\infty} c = \lim_{a\to +\infty} \phi(a n) = 0$.

Corolario 2. Sea$\phi : \mathbb R^n \to \mathbb R$ser un$C^2$función tal que$\Delta \phi =0$en todos lados. Si$\phi(x)$tiende a$0$como$|x|\to +\infty$(es decir, por cada$\epsilon >0$hay$r_\epsilon>0$tal que$|\phi(x)|< \epsilon$si$|x|> r_\epsilon$), entonces$\phi=0$.

prueba _ Llevar$\epsilon >0$de modo que$|\phi(x)|< \epsilon$si$|x|> r_\epsilon$. En el conjunto compacto$|x| \leq 2r_\epsilon$,$\phi$es continua (ya que es$C^2$) y, por lo tanto, está delimitado por algunos$M \geq 0$. Como consecuencia$|\phi(x)| \leq \epsilon_r + M$para todos$x \in \mathbb R^n$. El teorema de Liouville ahora implica que$\phi(x)=c$constantemente. Sin embargo esta constante$c$debe satisfacer$0 \leq |c |< \epsilon$para cada$\epsilon >0$y por lo tanto$c=0$.

El segundo corolario utiliza un requisito muy débil con respecto a cómo$\phi$uniformemente tiende a$0$para$|x|\to +\infty$. Obviamente$\phi(x) \sim const/|x|$está bien, pero también son suficientes convergencias mucho más débiles, como$\sim const / \ln |x|$...

No estoy seguro de entender lo que quiere decir con "dominio limitado". Esta es una respuesta basada en lo que entiendo de la pregunta.

Para resolver la ecuación de Laplace de forma única, debe especificar la condición de contorno de tipo Dirichlet o Neumann.

EDITAR: El límite de la región de interés puede estar en distancias finitas, así como en el infinito. Por ejemplo, para resolver el potencial debido a un cambio de punto en el espacio libre, debe resolver la ecuación de Poisson. Aquí, tomamos el potencial yendo a cero en el infinito. Entonces, si tiene un límite finito en mente, eso no es necesario. Como saben, la solución en este caso es la familiar$u(r)\sim \frac{1}{r}$Potencial de Coulomb (que no es idénticamente cero en todas partes).

Ahora, para la ecuación de Laplace en un espacio absolutamente libre (sin carga en ninguna parte), si la condición de frontera es tal que el potencial desaparece en todas partes de la frontera, entonces el potencial seguirá siendo cero en todas partes simplemente porque la ecuación de Laplace no admite máximos o mínimos locales.