¿Resolvió la ley de Gauss para E⃗ E→\vec{E} sin condiciones de contorno?

¿Por qué puedo resolver el campo eléctrico de una carga puntual Q en el origen sin condiciones de contorno?

∇ ⋅ mi → = ρ / ε 0 = d ( r → ) / ε 0 es una ecuación diferencial de primer orden, por lo que debería necesitar una condición de contorno.

Mediante el teorema de la divergencia se obtiene la Ley de Gauss:

∮ S mi ⋅ d A = q ε 0

Por simetría, el campo eléctrico es constante sobre cualquier superficie esférica que rodee la carga puntual Q. Esto simplifica la integral a:

| mi | ( 4 π r 2 ) = q / ε 0
o
mi → = 1 4 π ε 0 q r 2 r ^
(la dirección, r ^ , puede implicarse de nuevo por la simetría del problema).

¿Cuándo (si alguna vez) di condiciones de contorno?

Respondí esta pregunta porque al principio tuve algunos problemas y quería compartirla. Para aquellos que votaron en contra, ¿mi respuesta es incorrecta de alguna manera?
Tal vez algunas personas se opongan a responder a su propia pregunta, pero para que conste, está totalmente bien. (Siempre que la pregunta y la respuesta sean aceptables por sus propios méritos, por supuesto).
Gracias. Siempre y cuando no me haya informado mal a mí mismo oa los demás.

Respuestas (1)

El punto en el que se especifican las condiciones de contorno es sutil. Puedes encontrar este punto sumando un vector constante a mi → en cada paso hasta que varía la ecuación: no debe cambiar ninguna ecuación hasta que se especifique el límite. Dado que el flujo de un campo vectorial no se ve afectado por una constante vectorial agregada, la condición de frontera se especificó por primera vez cuando mi → se asumió que era esféricamente simétrico en todas partes , lo que provocó que se saliera de la integral.

¿De qué manera es una condición de contorno?

Lleva información adicional que las ecuaciones de Maxwell por sí solas no tienen: asume que el sistema es rotacionalmente invariante. La condición de contorno era que mi → ( r , θ , ϕ ) = mi → ( r , θ + θ 0 , ϕ + ϕ 0 ) para cualquier θ 0 , ϕ 0 , si ponerlo en una ecuación lo hace parecer más legítimo.

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