Una visión sobre las Métricas Riemannianas, los Campos de Fuerza y ​​cosas relacionadas

Considere el semiplano$H^2 = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ y>0\}$, y supongamos que modela (utilizando un poco de fantasía y siendo muy poco riguroso en lo que respecta a la realidad) el subsuelo de la Tierra, de modo que cada capa de suelo$y=\textrm{k}$consiste en un material más duro cuanto más se acerca a la capa final$y=0$. De esta manera, cuanto más profundo se vaya, más difícil será que se muevan y, por lo tanto, más costoso será perforar el suelo.

Supongo que tal situación podría modelarse (hasta cierto punto) a través de la conocida representación del plano hiperbólico$(H^2,g_{H^2})$, dónde

$$g_{H^2}(x,y) = \begin{bmatrix}1/y^2 &0\\0 &1/y^2\end{bmatrix}$$ no representa la métrica que induce la longitud adecuada (para la cual usamos la métrica euclidiana estándar), sino una "longitud de costo", de tal manera que las geodésicas son las rutas que minimizan los costos. De esta forma, si se desea trasladarse de un punto a otro, se puede elegir entre un camino más corto pero más costoso (la línea, que sería la geodésica estándar del avión) y un camino más largo pero "más económico" (las geodésicas del plano hiperbólico).

En primer lugar, me interesa saber si razonamientos como los anteriores se han utilizado para describir (incluso con un alto grado de aproximación) alguna situación o fenómeno real.

Si lo han sido, ¿puede darme una referencia?

En segundo lugar, mi ejemplo se basa en gran medida en el hecho de que uno tiene esta idea de dificultad de movimiento (que también podría ser facilidad de movimiento, si uno tiene una métrica diferente), que de alguna manera se asemeja a algún tipo de fricción.

¿Hay al menos un campo vectorial (tal vez un campo de fuerza dependiente de la velocidad) que describa esto? ¿Algo así como una fricción, que crece cuanto más se acerca al fondo?

Y viceversa, dada alguna "fricción", ¿se puede encontrar siempre una geometría que modele la situación?

Si no hay un campo vectorial, ¿qué hay que pueda ser útil para describir lo que sucede?

Pensé que, dadas las conexiones Levi-Civita de$(H^2,g_{\mathbb{R}^2})$y$(H^2,g_{H^2})$($\nabla^{\mathbb{R}^2}$y$\nabla^{H^2}$) y un camino$c(t)$en$H^2$, lo que llamé "fricción" podría ser

$$\tilde{\nabla}_{c'(t)}c'(t) := 2\nabla^{\mathbb{R}^2}_{c'(t)}c'(t) - \nabla^{H^2}_{c'(t)}c'(t),$$ y $\tilde{\nabla}$es una conexión sin torsión. Sin embargo, todavía tengo que encontrar las propiedades de tal conexión y de qué manera se relaciona con la situación original. Yo pensaría (suposición salvaje) que, si uno puede encontrar una métrica tal que $\tilde{\nabla}$es su conexión Levi-Civita, entonces las geodésicas serían aquellos caminos en los que existe la mejor "ganga" entre longitud y costo.