Tensores construidos con métrica distinta del tensor de curvatura de Riemann

Permítanme dar una descripción simplificada de los antecedentes relacionados con la pregunta. La historia completa se puede encontrar en el célebre artículo de M. Atiyah, R. Bott, VK Patodi, "Sobre la ecuación del calor y el teorema del índice", que es la referencia canónica del tema.

La curvatura de Riemann$R_{abcd}$y el tensor de Ricci$R_{ab}$mencionados en la pregunta se construyen a partir de la métrica en el sentido de que en un parche de coordenadas$(U, x^i)$están dados por una fórmula universal que involucra las derivadas parciales de los componentes de la métrica. Se pueden encontrar expresiones explícitas, por ejemplo, aquí . Además, las fórmulas resultan polinómicas en las derivadas parciales de$g_{a b}$de todos los pedidos$\ge 0$y la métrica inversa$g^{a b}$. Una fórmula como esa da componentes de un tensor si se transforman bajo cambio de coordenadas en la forma tensorial . Estas observaciones dan lugar a la siguiente noción.

Dejar$(M,g)$sea ​​una variedad riemanniana de dimensión$n = \dim M$.

Definición 1 . Una invariante métrica (también conocida como invariante de Riemann o invariante de la estructura de Riemann) es una sección$P(g)$de un haz tensorial sobre$M$, tal que para cualquier difeomorfismo$\phi \colon M \to M$la propiedad de naturalidad se cumple:

$$P(\phi^* g) = g^* P(g)$$ y en cualquier parche de coordenadas $(U,x^i)$(que también da la trivialización coordinada del paquete tensorial donde $P(g)$tiene valores), los componentes de $P(g)$están dadas por una expresión polinomial universal en la lista de variables formales $\{ g^{i j}, \partial_{k_1} \dots \partial_{k_s} g_{i j} \}$, $s \ge 0$.

comentario 1 . Si P tiene valores en$\mathbb{R}$, tenemos un invariante de valor escalar.

Observación 2 . De manera similar, podemos dar una definición de un operador diferencial invariante métrico .

Ejemplos _ El tensor métrico$g_{a b}$y su inversa$g^{a b}$, el tensor de curvatura de Riemann$R_{a b}{}^{c}{}_{d}$, el tensor de Ricci$R_{a b}$son invariantes métricos con valores tensoriales . La curvatura escalar$R = g^{a b} R_{a b}$es un invariante tensorial de valor escalar . Más ejemplos de valores escalares se mencionan en otra pregunta del OP. La conexión Levi-Civita$\nabla^g$de la métrica$g$es un operador diferencial invariante métrico. Véase, por ejemplo , Jack Lee , Riemannian Manifolds. Una introducción a la curvatura.

Como @Jack Lee ha señalado en los comentarios, usando la conexión Levi-Civita y la curvatura de Riemann se pueden construir muchas invariantes métricas con valores tensoriales, y tomando las contracciones completas obtenemos muchas invariantes métricas con valores escalares. Esto se puede formalizar de la siguiente manera.

Definición 2 . Una invariante de curvatura es una combinación lineal de contracciones parciales de las derivadas covariantes iteradas (con respecto a la conexión Levi-Civita$\nabla$asociado a la métrica$g$) de la curvatura de Riemann.

Más ejemplos se pueden encontrar aquí .

La pregunta en la consideración ahora puede reformularse de la siguiente manera.

¿ Se pueden obtener todas las invariantes métricas como invariantes de curvatura?

Se sabe que la respuesta es positiva . Esto es una consecuencia del Primer Teorema Fundamental de la teoría invariante clásica. La herramienta geométrica clave que se utiliza para reducir este problema a un problema de la teoría de la representación del grupo ortogonal son las coordenadas normales (o geodésicas) . Ver los detalles en el documento antes mencionado.

Esto también es válido para los operadores diferenciales invariantes métricos.