Estoy estudiando geometría diferencial y sabemos que si es el conjunto de campos vectoriales uniformes definidos en una variedad , entonces podemos ver que es un módulo con el conjunto de funciones suavizadas de valores reales definidas en .
Sin embargo, ¿podemos dar a una estructura de anillo con la "multiplicación" definida como por todo ? ¿Es cierto que, si y son campos vectoriales definidos en una vecindad , entonces se define en ? No puedo ver ningún contraejemplo para esto.
¿Es cierto en general o no?
¡Saludos!
La composición será, en general, un operador diferencial no lineal, no un campo vectorial.
Por ejemplo, no es una "derivación" en el sentido de que no verifica la regla del producto de las derivadas.
Entonces, está definido, por supuesto, pero no es un campo vectorial. Este "producto" no es una operación: no produce otro campo vectorial. Sin embargo, es un producto del álgebra de operadores diferenciales.
Por otro lado, el conmutador de este producto: , llamado paréntesis de mentira de campos vectoriales, es un operador diferencial lineal: un campo vectorial. Esto convierte al módulo de campos vectoriales en un tipo de anillo no conmutativo llamado álgebra de Lie. Esto es muy importante en el estudio geométrico de las ecuaciones diferenciales (el flujo asociado a está relacionado con los flujos de de una manera interesante).
marcavs