Función cuyo gradiente es de norma constante en sus conjuntos de nivel

tengo una funcion F : R norte → R y se que en su nivel se pone F − 1 ( z ) la norma de su gradiente es constante. ¿Qué puedo decir sobre esta función?

| | ∇ X F ( X ) | | = constante ∀ X ∈ F − 1 ( z ) := { X ∈ R norte : F ( X ) = z } ∀ ∈ R

Las preguntas relacionadas son this y this . Sin embargo, consideran que la norma del gradiente es constante para cada X en el dominio Sé que esto es cierto solo en cada conjunto de niveles.

No estoy seguro de si puede decir mucho. Por ejemplo, F ( X ) = | X | cumple esto como | | ∇ X F ( X ) | | = 1 . Otra función F ( X ) = X 2 también satisface esto - para cada conjunto de niveles (es decir, { a , − a } ) | | ∇ X F ( X ) | | = 2 | X | . De hecho, estos dos satisfacen la propiedad para cada conjunto de niveles, mientras que solo para algunos conjuntos de niveles.
@RahulMadhavan, ¿qué pasaría si esta propiedad se cumpliera para cada conjunto de niveles?
@RahulMadhavan He encontrado el siguiente artículo que parece estar relacionado pero es difícil de descifrar projecteuclid.org/journals/kodai-mathematical-journal/volume-19/…
Cambié la pregunta para que la función debe tener un gradiente de norma constante en todos sus conjuntos de niveles
Es F continuamente diferenciable? ¿Sabes que no hay puntos críticos?
Me complace asumir cualquier condición de regularidad, como continuamente diferenciable y sin puntos críticos.
Un resultado que podría decir es que los conjuntos de niveles están espaciados "de manera uniforme". Es decir, en un conjunto de niveles A = F − 1 ( a ) , estás a la misma distancia de otro conjunto de niveles B = F − 1 ( b ) no importa dónde estés A . Sin embargo, dado que solo está asumiendo una norma constante a lo largo de cada conjunto, al principio solo puedo ver que esto es cierto en algún sentido no exacto "infinitesimal", es decir, como b → a .
En caso de que importe, hace una diferencia sustancial en el resultado si hay o no puntos críticos, así como importa si el dominio es todo o no. R norte o (decir) R norte con un punto eliminado.
@AndrewD.Hwang Dominio definitivamente será todo R norte !
@AndrewD.Hwang ¿Cómo lograste obtener el hecho de que los conjuntos de niveles están espaciados uniformemente?
Ese fue "Cris". :) Pero la idea es que el flujo de gradiente envíe cada nivel regular a otro nivel regular, precisamente porque la norma del gradiente es constante en los niveles.
Mi mal, corregirá ahora!

Respuestas (1)

Si F es C 1 , entonces debido a que la norma del gradiente es constante en los niveles de F , existe una función continua de valores reales λ de una variable que satisface

‖ ∇ F ( X ) ‖ = λ ( F ( X ) ) para todos  X .
Si F no tiene puntos críticos, entonces λ > 0 . Dejar Λ sea ​​una antiderivada de 1 / λ y deja gramo = Λ ∘ F . Por la regla de la cadena,
‖ ( ∇ gramo ) ( X ) ‖ = | Λ ′ ( F ( X ) ) | ⋅ ‖ ∇ F ( X ) ‖ = 1.
Por la solución de la pregunta vinculada, gramo es afín. Como consecuencia, F es constante en los hiperplanos y, por lo tanto, es efectivamente una función de una variable.

Si F tiene puntos críticos, pueden pasar más. Por ejemplo, F podría ser una función de la distancia al cuadrado desde un subespacio afín (un punto a través de un hiperplano).

[Reflexiones: De improviso, no tengo una prueba, eso es todo, pero siguiendo las líneas del comentario de Chris, esto es lo que uno espera; Me inclinaría a comprobar si los niveles regulares de F tienen curvaturas principales constantes.]

¿Por puntos críticos te refieres a un máximo/mínimo?
Sí; específicamente, puntos donde el gradiente se desvanece.
Oh, lo siento, pensé en otra cosa. Me disculpo por eso, puede haber algunos valores críticos. Siempre habrá un número finito de valores críticos y muy probablemente sólo uno. ¿Crees que podrías decir más al respecto entonces?
Cada función esféricamente simétrica (es decir, una función de la distancia desde algún punto) tiene su propiedad, y por mis reflexiones, supongo que eso es todo, pero de antemano no tengo una prueba. Si esta respuesta no es relevante, me complace eliminarla. En cualquier caso, esta información es crucial para agregar a su pregunta. :)
¿Qué quiere decir exactamente con función de distancia al cuadrado o función esféricamente simétrica?
Hasta una traslación (para mover el punto crítico al origen), una función de X 1 2 + ⋯ + X norte 2 (distancia al cuadrado al origen). Una función de una suma de solo algunos de estos términos también tiene su propiedad; los niveles son entonces cilindros coaxiales con algún subespacio afín de R norte .
Función cuyo gradiente es de norma constante en sus conjuntos de nivel
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