Estoy interesado en aprender sobre los operadores de Dirac, los núcleos de calor y su papel en el teorema del índice de Atiyah-Singer. De varias fuentes (incluida esta pregunta muy útil ), he llegado a conocer varias referencias:
(i) Spin Geometry de Lawson & Michelsohn
(ii) Heat Kernels and Dirac Operators de Berline, Getzler y Vergne
(iii) Dirac operadores y spectral geometría de Giampiero Esposito
(iv) Teoría de la invariancia, la ecuación del calor y el teorema del índice de Atiyah-Singer de Peter Gilkey
y (v) El laplaciano en una variedad de Riemann de Rosenberg, sin embargo, tengo dificultades para decidir cuál o dos estudiar entre estos. Prefiero leer libros que comiencen desde lo básico pero que eventualmente cubran los aspectos centrales del tema a un nivel bastante avanzado.Indique cuál o dos de los anteriores debo estudiar para que la intersección de los libros seleccionados sea mínima y la unión sea máxima. Cualquier comentario sobre los libros mencionados anteriormente será muy útil.
Mi experiencia es: análisis (como se cubre en 'Principios de análisis matemático' por Walter Rudin pero no mucho de teoría de la medida), Algbera (curso de nivel de posgrado de 1 año basado en Serge Lang), Teoría múltiple y geometría diferencial (formas diferenciales, de- Teoría de Rham, métricas de Riemann, geodésicas, conexiones, curvatura, paquetes de vectores y clases de características, paquetes de principios) pero muypoco análisis funcional (definición y propiedades básicas de los espacios de Banach y Hilbert, y los cuatro famosos teoremas) y casi ninguna Topología Algebraica más allá de la definición de grupo fundamental. Para cuando planee comenzar a estudiar ASIT, espero haber estudiado la teoría de la representación de los grupos de Lie y el álgebra de Lie y también podría ser un poco de álgebras de Clifford. Indique qué otros requisitos previos necesito para estudiar los libros enumerados anteriormente. . En particular, ¿necesito aprender más Análisis Funcional y Topología Algebraica para este propósito? He estudiado los prefacios de los libros que he enumerado pero, lamentablemente, la información sobre los requisitos previos necesarios no se menciona en la mayoría de los casos.
Cualquier otra buena referencia es bienvenida.
Nota: anteriormente había hecho una pregunta relacionadaaquí
He trabajado durante más tiempo con los libros mencionados de S.Rosenberg (v), P.Gilkey (iv) y Berline, Getzler y Vergne (ii). Dado que mis intereses estaban más relacionados con los núcleos de calor que con los operadores de Dirac, quiero comentar desde este punto de vista.
El libro de S.Rosenberg es excelente para empezar. Se trata de lo básico, aunque tratar de tocar temas es bastante complicado, por lo que es muy bueno para empezar a sumergirse.
(ii) también es una gran fuente. Pero está en un nivel más avanzado. Recomendaría mantener este libro en su mente, pero comience a leer más tarde, si se siente muy familiarizado con los conceptos básicos, incluso yo no puedo definir con precisión qué significan los "conceptos básicos".
Finalmente, (iv) se cita directamente muy a menudo y pertenece a la literatura 'canónica' a los temas relacionados con el núcleo de calor. Definitivamente vale la pena leerlo, pero no espere leerlo de principio a fin, le recomendaría que elija los capítulos que le interesen de inmediato, ya que contiene una amplia gama de temas.
editar: si está trabajando seriamente en estos temas, se enfrentará automáticamente al análisis funcional, es un fundamento importante. Tampoco tuve una educación 'más' en análisis funcional antes, pero para mí funcionó aprender partes de él 'sobre la marcha' mientras consideraba problemas concretos. Así que no lo dude si nunca escuchó una conferencia especial. El libro de Rosenberg, por ejemplo, también contiene mucho material analítico funcional útil.
Creo que la mejor introducción es "Dirac Operators: Yesterday and Today", las actas de una escuela de verano editada por Bourguignon, Branson, Chamseddine, Hijazi y Stanton. No cubre los núcleos de calor, pero brinda una buena comprensión de los otros temas, y comienza desde lo básico; hay un capítulo (breve) sobre variedades diferenciables. También creo que una buena comprensión de los contenidos aquí es un requisito previo para sacar mucho provecho de, por ejemplo, el libro de Lawson-Michelsohn.
Más allá de los requisitos previos que mencionó, creo que lo único necesario es una cierta comprensión de los grupos de cohomología. Para comenzar a aprender sobre los núcleos de calor, timur probablemente tenga razón al decir que primero debe aprender algo de PDE.
Otro libro valioso que no se ha mencionado es Lectures on the Geometry of Manifolds de Liviu Nicolaescu , que está disponible gratuitamente en su sitio web (bajo papers'n stuff ). Si bien no cubre el Teorema de Atiyah-Singer en sí, hace un gran trabajo al abordar algunos de los requisitos previos, como los operadores elípticos (incluidos los operadores de Dirac).
He estudiado todo el libro de Rosenberg y les puedo asegurar que es una muy buena elección para empezar, también he estudiado algunas partes de los libros de Gilkey y Lawson-Michelson y les puedo asegurar que son bastante avanzados. Sería difícil empezar con ellos. Supongo que el libro de Lawson-Michelson es mejor para ti porque cubre la prueba clásica del teorema del índice de Atiyah-Singer, que depende más de la geometría, mientras que Gilkey cubre la prueba analítica del teorema, que depende mucho del análisis. De todos modos, si prefieres elegir el libro de Gilkey, asegúrate de hacerte con la segunda edición, ya que es bastante mejor que la primera. Observación: El libro de Gilkey comienza en el contexto de los complejos elípticos, que es más general que el contexto de los operadores de Dirac y los complejos de Dirac.
timur
usuario90041
timur
Eric O Korman
usuario90041
liviu nicolaescu