Un espacio métrico es homogéneo si para cualquiera de los dos puntos hay una isometría global que mapea uno dentro del otro. Es localmente homogéneo si dos puntos cualesquiera tienen vecindades isométricas, es decir, el espacio 'parece el mismo' cerca de ellos. Tome un disco plano abierto, es claramente localmente homogéneo, pero no hay una isometría global que mapee su centro a ningún otro punto. Sin embargo, el disco está incompleto cerca del límite, y si lo completamos, los puntos del límite ya no 'se verán igual' que los del interior.
¿Puede una variedad de Riemann conexa completa ser localmente homogénea pero no homogénea? ¿Qué tal uno cerrado? Sospecho que sí, pero no se me ocurre ningún ejemplo.
En cosmología, localmente homogéneo generalmente se llama simplemente homogéneo, pero me pregunto si esto está en línea con el uso matemático incluso para espacios 'agradables'.
Cualquier dos variedades de Riemann con curvatura de sección constante son localmente homogéneos (en coordenadas normales, se tiene una descripción explícita de la métrica y al componer dos sistemas de coordenadas normales alrededor de dos puntos diferentes se obtiene una isometría local). Sin embargo, tales espacios no necesitan ser homogéneos.
Por ejemplo, considere una superficie orientada cerrada de género con la métrica riemanniana de curvatura constante . Puedes elegir una estructura casi compleja compatible que será una estructura compleja honesta porque estamos en el caso bidimensional. Las isometrías que conservan la orientación son, en particular, mapas conformes y, por lo tanto, son biholomorfismos de pero un resultado de Hurwitz muestra que ese grupo de biholomrofismo de tal superficie es finito y en particular, no puede ser homogéneo.
luego
noah schweber
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