geodésica en espacio métrico y en variedades

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geodésica en espacio métrico y en variedades

geodésico
Matemáticas
geometría-métrica
Geometría de Riemann
geometría diferencial

Saimel

En el libro ''Metric space of non-positive curvature'' de Bridson y Haefliger tenemos la siguiente definición de geodésica en un espacio métrico:

Dejar $(X,d)$ Sea un espacio métrico. Un mapa $c:[0,l]\longrightarrow X$ es una geodésica si para todo $s,t \in [0,l]$ tenemos $d(c(s),c(t))=\vert t-s \vert$ .

Hasta ahora, todo bien. En el ejemplo debajo de esta definición, afirman lo siguiente:

“Hacemos hincapié en que las trayectorias que comúnmente se denominan geodésicas en geometría diferencial no necesitan ser geodésicas en el sentido métrico; $\textbf{in general they will only be local geodesics}$ .''

Asumo que entienden por "sentido métrico" la métrica en nuestra variedad que es inducida por nuestra métrica riemanniana. De lo contrario no sé lo que significan?

Pero si esto es cierto, estoy bastante confundido acerca de esto, ya que $\gamma:[0,1] \longrightarrow \mathbb{R}^2, t \longmapsto 2t$ es una geodésica en el sentido riemanniano (si consideramos la métrica riemanniana estándar en $\mathbb{R}^2$ con conexión inducida). Pero esto nunca será una geodésica local en el sentido métrico, como $d(\gamma(s),\gamma(t))=2\vert t-s \vert$ para todos $s,t \in [0,1]$ .

¿Dónde falla mi pensamiento? Y si no falla, ¿cuál es la conexión entre las geodésicas en el sentido métrico y el sentido riemanniano?

cris

En general, las "geodésicas de geometría diferencial" solo minimizan la longitud localmente; considere en la esfera el camino del polo norte al polo sur, y luego avance un poco más a lo largo de este camino. Esta es una geodésica, pero el camino más rápido habría sido ir al revés alrededor de la esfera.

Saimel

Sí, lo entiendo. Pero lo que me confunde es que los autores afirman (al menos yo lo entiendo así) es: las geodésicas de geometría diferencial son geodésicas métricas localmente. Pero creo que la curva

γ

$\gamma$ es un contraejemplo?

janmarqz

una cosa es la distancia entre puntos en

R^{2}

$\mathbb R^2$ y otro la distancia entre curvas en

R^{2}

$\mathbb R^2$

Respuestas (1)

geodésica en espacio métrico y en variedades

En general, las "geodésicas de geometría diferencial" solo minimizan la longitud localmente; considere en la esfera el camino del polo norte al polo sur, y luego avance un poco más a lo largo de este camino. Esta es una geodésica, pero el camino más rápido habría sido ir al revés alrededor de la esfera.
Sí, lo entiendo. Pero lo que me confunde es que los autores afirman (al menos yo lo entiendo así) es: las geodésicas de geometría diferencial son geodésicas métricas localmente. Pero creo que la curva $\gamma$ es un contraejemplo?
una cosa es la distancia entre puntos en $\mathbb R^2$ y otro la distancia entre curvas en $\mathbb R^2$

salvelino ártico · Answer 1

He visto una definición donde declaran que las geodésicas en un espacio métrico son curvas que satisfacen

d (C (s), C (t)) = v | t - s |,

$d(c(s), c(t)) = v|t-s|,$ para algunos

v \geq 0

$v\ge 0$ . Ver aquí por ejemplo. La definición que usó podría llamarse "geodésica de velocidad unitaria en

(X, d)

$(X, d)$ ".

Lo que los autores quieren decir es que las geodésicas en la geometría riemanniana podrían no ser geodésicas en el sentido que ustedes le dan, incluso si es de velocidad unitaria. Un ejemplo sencillo es la curva $c (t) = [t]$ en la variedad unidimensional $\mathbb R/\mathbb Z$ con la métrica euclidiana. Desde $c(0) = c(1)$ ,

d (C (0), C (1)) = 0 \neq 1 = | 1 - 0 | .

$d(c(0), c(1)) = 0 \neq 1 = |1-0|.$

Por otro lado, si $c(t)$ es una geodésica de velocidad unitaria en una variedad de Riemann $(M, g)$ , entonces para cada $t_0$ , hay $\epsilon>0$ de modo que $c|_{[t_0-\epsilon, t_0+ \epsilon]}$ es longitud minimizando y $c|_{[t_0-\epsilon, t_0+ \epsilon]}$ es una geodésica en el sentido de espacio métrico. De ahí el término "geodésica local".

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Saimel

cris

Saimel

janmarqz

Respuestas (1)

salvelino ártico

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