Una vez que una función de partición cuántica está en forma de integral de trayectoria, ¿contiene algún operador?

No, la formulación de la integral de trayectoria de Feynman de la mecánica cuántica es un método para calcular directamente las amplitudes de probabilidad complejas y todos los objetos que aparecen en su formalismo, sin contar las pruebas de equivalencia con otros enfoques de la mecánica cuántica, son$c$-números que representan observables clásicos.

En particular, el exponente en la integral de trayectoria, que debe ser$iS$($i$veces la acción, es decir$i$veces el lagrangiano integrado), no el hamiltoniano, es un$c$-Función de valor numérico de los "observables clásicos", la misma función que es relevante para la teoría clásica (no cuántica). Entonces, la integral de ruta es una integral de dimensión infinita sobre "variables clásicas ordinarias" que produce algunas amplitudes de probabilidad, las mismas que pueden (pero no tienen que) obtenerse del formalismo del operador.

Principio de incertidumbre en la integral de trayectoria

Por cierto, algunos tipos de integrales de trayectoria incluyen integración sobre posiciones y momentos,$\int Dx(t)\, Dp(t)$. ¿Cómo es posible que ambos sean tratados "clásicamente" como$c$-¿números? ¿No viola el principio de incertidumbre?

La respuesta es que no viola el principio de incertidumbre. Todavía se puede deducir que$xp-px=i\hbar$de la integral de trayectoria siempre que tenga cuidado de poner los valores correctos del tiempo$t$(el argumento). Las cantidades$x(t)p(t-\epsilon)$y$p(t)x(t-\epsilon)$diferir de. Una condición necesaria para que exista esta diferencia es el hecho de que "la mayoría" de las trayectorias que contribuyen a la integral de trayectoria son discontinuas.

No voy a estar en desacuerdo con Lubos, porque su respuesta es mayormente correcta, pero las cantidades en la integral de trayectoria también pueden interpretarse como operadores en el espacio de estados de Hilbert, si lo desea. Son cantidades clásicas en cada trayectoria individual de la integral de trayectoria (para campos bosónicos), pero se convierten en operadores después de integrar, cuando se encuentran dentro del signo integral.

El espacio de estado de una integral de trayectoria se define mediante superposiciones en las condiciones de contorno. Si multiplicas por alguna inserción A(x,t) en la integral, estás mezclando las superposiciones cuando la integral llega a ese momento al multiplicar por una cantidad diferente en cada camino. La mezcla es un operador lineal en las condiciones de contorno, y es exactamente el operador lineal A(x,t) en la mecánica cuántica de la imagen de Heisenberg.

Para los campos fermiónicos, siempre son "operadores" en algún sentido, porque siempre son anticonmutadores. Pero su relación de anticonmutación es independiente de la dinámica en la expansión de la integral de trayectoria y se reduce a las variables clásicas de Grassman. Multiplicar por el campo de Grassman dentro de la integral de trayectoria tiene el mismo efecto en los estados coherentes de Grassman que el correspondiente operador de imagen de Heisenberg.

Para dar un ejemplo, considere el operador X(t). Este es un operador en mecánica cuántica, y obedece a la relación canónica de conmutación:

Dentro de la integral de trayectoria, X(t) es solo un número en cada trayectoria, y P(t) también es un número (divergente) en la integral de trayectoria de Lagrange. Un estado cuántico$\psi(x)$en el tiempo t_0 se describe por la superposición sobre los estados iniciales

Multiplicar por X(t_0) tiene el efecto de reorganizar la función de onda de la condición inicial en

Y esto es exactamente lo mismo que multiplicar por el operador X. Para recuperar la relación de conmutación, observe que

es ambiguo, porque depende del orden de tiempo que utilice para resolver el producto:

donde el lado derecho es el producto del operador como elementos de la matriz, y esto se justifica porque primero multiplicas las condiciones iniciales por X(t), luego las multiplicas por P(t),

Donde nuevamente el lado derecho es un producto del operador, y el lado izquierdo son los elementos de la matriz de este producto. La diferencia entre los dos es distinta de cero, porque los caminos no son diferenciables,$\Delta X^2$es proporcional a$\epsilon$, no$\Delta X$. De modo que:

Donde la "i" es un 1 en el espacio euclidiano, la velocidad es una diferencia directa (Ito), por lo que siempre está ligeramente adelantada en el tiempo, y la última igualdad es una igualdad débil, válida solo en el sentido de que el promedio sobre un El pequeño intervalo del lado izquierdo y derecho son iguales (o iguales en el sentido de distribuciones), y válidos solo en el límite de acercarse al tiempo real desde el tiempo euclidiano, de modo que se controlen las integrales oscilatorias.

La falta de diferenciabilidad es la misma que en los procesos estocásticos derivados del movimiento browniano, el cuadrado de la desviación es proporcional a$\epsilon$, no como para funciones diferenciables, donde la desviación en sí misma es proporcional a$\epsilon$.

Schwinger utilizó esta forma de ver las cosas, donde las cantidades dentro de la integral de trayectoria son operadores, y le gustó porque incorporaba fermiones de forma natural. Hoy usamos las integrales de Grassman con el mismo propósito. Sin embargo, la no conmutatividad de los productos siempre está presente y debe tenerse en cuenta.

NO, H ahora es una función de números complejos (o de Grassmann) en lugar de operadores