Integral de trayectoria en QM vs QFT

Bueno, la integral de trayectoria es una construcción heurística. Formalmente, P&S identifica el índice

$$i ~=~{\bf x}$$ con un punto en el espacio tridimensional, de modo que $$q^i(t)~=~\phi({\bf x},t) \qquad\text{and}\qquad p^i(t)~=~\pi({\bf x},t).$$ Para completar la transición de la mecánica de puntos (9.12) a la teoría de campos (9.14), a menudo se imagina que el espacio tridimensional y el tiempo están discretizados. Luego, las derivadas del espacio-tiempo se reemplazan por diferencias finitas apropiadas , y las medidas integrales de trayectoria se vuelven $${\cal D}q ~=~\prod_{i,t} \mathrm{d}q^i(t) \qquad\text{and}\qquad {\cal D}\phi ~=~\prod_{{\bf x},t} \mathrm{d}\phi({\bf x},t).$$

Re "Mi pregunta es: ¿qué significa siquiera 9.14?" Solo agregaré una nota a pie de página a la respuesta anterior, que está bien. Para el propio QM y, como era de esperar, bajo algunos supuestos técnicos sobre el potencial$V$, hay formas rigurosas de dar significado a la integral de camino. Las cosas se complican cuando se etiquetan los puntos del espacio-tiempo usando$\mathbb{R}^{d - 1} \times \mathbb{R} \cong \mathbb{R}^d$con$d > 1$(como era de esperar en QFT) cuando uno tiene que cambiar a distribuciones.

Algunas de las referencias clásicas son Michael Reed y Barry Simon's on Functional Analysis; o la Teoría cuántica para matemáticos de Brian Hall (en concreto, el capítulo 20). Aún más al punto de rigor para las integrales de trayectoria y hasta dónde se puede llegar con el enfoque es el esfuerzo de la teoría cuántica de campo constructiva .

Por supuesto, las heurísticas para la integral de ruta sirven bien a la práctica, de manera similar a que uno no necesita enredarse con el espacio de Hilbert amañado para usar el formalismo de freno de Dirac.