¿En qué sentido es la integral de trayectoria una formulación independiente de la Mecánica Cuántica/Teoría de Campo?

En el contexto de la teoría cuántica axiomática de campos, hay un teorema (ver el teorema 3-7 en PCT, Spin and Statistics, and All That de Streater y Wightman, a quienes me referiré como "SW"), que SW llama " teorema de reconstrucción", afirmando esencialmente que las funciones de correlación sirven para determinar completamente una teoría de campo correspondiente en el formalismo del Espacio de Hilbert. Específicamente, muestran que (parafraseando por brevedad)

Dada una secuencia$\mathscr W^{(n)}$de distribuciones templadas definidas por$n$puntos de espacio-tiempo (funciones de correlación) que satisfacen ciertas propiedades técnicas (descomposición de conglomerados, ley de transformación relativista, etc.) existe un espacio de Hilbert separable$\mathscr H$, una representación unitaria continua$U$de$\mathbb R^{3,1}\rtimes \mathrm{SO}^+(3,1)$(el grupo ortocrono de Poincaré propio) en$\mathscr H$, un estado de vacío invariante de Poincaré único$|0\rangle$, y un campo escalar hermitiano$\phi$con dominio apropiado tal que

$$\begin{align} \langle 0|\phi(x_1)\cdots \phi(x_n)|0\rangle = \mathscr W^{(n)}(x_1, \dots, x_n) \end{align}$$ Además, cualquier otra teoría de campos con estos valores esperados de vacío (vevs) es equivalente unitario a esta.

En otras palabras, las vev determinan una teoría de campo hasta la equivalencia unitaria, y una secuencia de funciones de correlación suficientemente bien comportadas determina completamente una teoría de campo con vev dadas, por lo que los correladores determinan una teoría de campo hasta la equivalencia unitaria.

El resultado. Dado que la integral de ruta le permite calcular todos los correladores en principio a través de la fórmula (algo esquemática)

Nota. De ninguna manera soy un experto en la teoría axiomática de campos cuánticos, por lo que si he dicho algo aquí que no sea estrictamente matemáticamente correcto, pido disculpas por adelantado. Además, no estoy seguro de qué tan general es la caracterización de SW de la teoría de campo, por lo que mis comentarios no son completamente generales, pero creo que el espíritu de estos comentarios se considera válido para todas (o la mayoría) de las teorías físicas cuánticas de campo.

Además, esta ciertamente no es una respuesta particularmente física. Tendría curiosidad por saber de otro usuario acerca de la intuición física detrás de por qué uno podría esperar que los correladores sean tan fundamentales y que lo abarquen todo.

En definitiva, las cantidades que tienes que calcular y comparar con la realidad son probabilidades o probabilidades de transición, que son el cuadrado de las amplitudes o amplitudes de transición. El formalismo de la integral de trayectoria representa directamente amplitudes de transición. En mecánica cuántica, puede recuperar la ecuación de Schrödinger a partir de la expresión de la integral de trayectoria que representa la amplitud de transición$\langle x',t'|xt\rangle$. Tienes, para "funciones de onda", la ecuación integral$\langle x',t'|\psi \rangle = \int dx \langle x',t'|xt\rangle \langle x,t|\psi \rangle$,- con la expresión$\langle x',t'|xt\rangle = \int [dC] e^{iS(C)}$, dónde$C$es un camino de$x$a$x'$,$t$a$t'$, y$S(c)$es la acción para este camino - y tomando el límite$t' \to t$, le dará la ecuación de Schrödinger.

El formalismo cuántico que puede utilizar (formalismo de integral de camino, formalismo de operador, representación de Schrödinger/Heinsenberg, etc.), es secundario, en el sentido de que estos formalismos son equivalentes. Es muy interesante mirar diferentes formalismos, pero, prácticamente, dependiendo de tu problema, elegirás el más simple.

Tomemos el ejemplo del oscilador armónico cuántico . Tienes diferentes estados propios$\psi_n(x,t)$correspondiente a las energías$(n+ \dfrac{1}{2})\hbar \omega$. Suponga que desea calcular la probabilidad de transición:$|\langle\psi_{n}|X| \psi_{n+1}\rangle|^2$. Puedes imaginarte haciendo la integral en$x$con las expresiones de$\psi_n(x,t),\psi_{n+1}(x,t)$. Trabajarás con las "funciones de onda" y la representación de Schrödinger. Ahora es mucho más interesante, en este caso particular, trabajar con la representación de Heinseberg, con un operador$X(t)$. La ecuación para el operador$X(t)$es simple$\ddot X(t) + \omega^2 X(t)=0$, con las restricciones de Heinsenberg :$[X(t), P(t')]_{t=t'} = i \hbar$. una solución es$X(t) = \sqrt{\dfrac{\hbar}{m \omega}}(a e^{i \omega t} + a^+e^{-i \omega t})$, y, en la base de energía, los términos no nulos de$a$son$a_{n,n+1} = \sqrt{n+1}$. Ahora, la probabilidad que estamos buscando es simplemente$|X_{n,n+1}|^2 = \dfrac{\hbar}{m \omega}(n+1)$.

[De hecho, para comprender correctamente la mecánica cuántica, es mejor pensar en términos de representación de Heinseberg que de representación de Schrödinger. Por ejemplo, en la teoría cuántica de campos, estás trabajando en una "representación de Heinsenberg", es decir: trabajas con operadores$\Phi(x,t)$dependiendo del espacio y el tiempo, no se suele trabajar con funciones de onda$\psi(\Phi,x,t)$- incluso si este formalismo es posible].

Ahora, volviendo a las integrales de trayectoria, es la misma lógica. Si considera, por ejemplo, QFT, dependiendo de su problema, podría ser más interesante usar el formalismo de integral de camino, o usar el formalismo de operador (canónico). Por ejemplo, es posible que desee calcular la energía de vacío para un campo bosónico o un campo fermiónico. Es más simple usar el formalismo del operador, pero también puede usar el formalismo de la ruta integral (ver por ejemplo Zee, QFT en pocas palabras Capítulo II.5 p 121/126, primera edición), y encontrará el mismo resultado.

Si desea calcular funciones de Green y propagadores, es totalmente natural usar el formalismo de la ruta integral, por ejemplo, en una teoría de campos perturbativos, y esto conduce naturalmente a los diagramas de Feynmann, y los diagramas de Feynmann son necesarios para calcular las amplitudes de transición y las transiciones. probabilidades, en el proceso de colisión de partículas.