¿Por qué el enfoque integral de ruta puede sufrir un problema de ordenación del operador?

1. Cualquier derivación de libro de texto estándar de la correspondencia.$^1$entre

   $$\text{Operator formalism}\qquad \longleftrightarrow \qquad \text{Path integral formalism} \tag{1}$$

   es una derivación formal, que descarta aportes en el proceso. Esto es cierto ya sea que trabajemos en el espacio de configuración (como en la Ref. 2) o en el espacio de fase; y si usamos estados de posición y momento, estados coherentes o estados de espín coherentes (como en la Ref. 3).

   Los objetos que aparecen en el camino formal integrando no son$^2$operadores no conmutativos más largos pero conmutativos$^3$funciones también conocidas como símbolos. Ver también esta publicación de Phys.SE.

   Hay una correspondencia/mapa entre

   $$\text{Operators}\qquad \longleftrightarrow \qquad \text{Functions/Symbols}.\tag{2}$$

   El problema de ordenación/ambigüedad de los operadores está oculto en cómo elegir esta correspondencia/mapa (2).

   Ejemplo. El mismo operador$\frac{\hat{q}\hat{p}+\hat{p}\hat{q}}{2}$se traduce en el símbolo$qp-\frac{ih}{2}$,$qp+\frac{ih}{2}$, o$qp$, dependiendo de si elegimos$\hat{q}\hat{p}$,$\hat{p}\hat{q}$, o prescripción de pedidos de Weyl, respectivamente. Por el contrario, la misma función$qp$se traduce al operador$\hat{q}\hat{p}$,$\hat{p}\hat{q}$, o$\frac{\hat{q}\hat{p}+\hat{p}\hat{q}}{2}$, dependiendo de si elegimos$\hat{q}\hat{p}$,$\hat{p}\hat{q}$, o prescripción de pedidos de Weyl, respectivamente.

2. Indiquemos aquí dónde se realizan las aproximaciones en la correspondencia (1) en el caso de la integral de trayectoria de espacio de fase 1D (conceptualmente más simple) en la imagen de Heisenberg. La idea principal al derivar la integral de trayectoria es insertar relaciones de completitud

   $$\int \!dq ~|q,t \rangle \langle q,t |~=~{\bf 1}, \qquad \text{and} \qquad \int \!dp~ |p,t \rangle \langle p,t |~=~{\bf 1},\tag{3}$$

   de instantaneo$^4$estados propios en varios momentos$t$, alternando entre inserciones de posición e impulso. La contribución principal conduce a una integral de trayectoria formal

   $$\langle q_f,t_f|q_i,t_i \rangle~\sim~\int_{q(t_i)=q_i}^{q(t_f)=q_f} \!{\cal D}q~{\cal D}p~\exp\left[ \frac{i}{\hbar}S[q,p]\right],\tag{4}$$

   con acción hamiltoniana formal

   $$S[q,p]~=~\int_{t_i}^{t_f}\!dt~\left[ p\dot{q}- H(q,p)\right],\tag{5}$$

   dónde$H(q,p)$denota el símbolo de Weyl para el operador hamiltoniano$\hat{H}$. La prescripción de pedidos de Weyl es mejor que la de otros operadores, pero sigue siendo una aproximación.

   Auerbach en Ref.3 está hablando principalmente sobre el análogo del$p\dot{q}$término para estados de espín coherentes en lugar del término hamiltoniano. Primero recuerda el$pq$fórmula de superposición

   $$\langle p,t \mid q,t \rangle~=~\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\exp\left[\frac{pq}{i\hbar}\right]. \tag{6}$$

   Ver también esta respuesta Phys.SE.

   A continuación, dos términos vecinos típicos en el procedimiento de fracciones de tiempo son de la forma

   $$\begin{align} \langle q_{+},& t+\frac{\epsilon}{2} \mid p,t \rangle \langle p,t \mid q_{-},t- \frac{\epsilon}{2}\rangle \cr ~=~&\langle q_{+},t \mid \exp\left[-\frac{i\epsilon}{2\hbar}\hat{H}\right]\mid p,t \rangle \langle p,t \mid \exp\left[-\frac{i\epsilon}{2\hbar}\hat{H}\right]\mid q_{-},t\rangle\cr ~\approx~&\langle q_{+},t \mid p,t \rangle \langle p,t \mid q_{-},t\rangle \exp\left[-\frac{i\epsilon}{\hbar} H\left(\frac{q_{+}+q_{-}}{2},p\right) \right]\cr ~\stackrel{(6)}{=}~& \frac{1}{2\pi\hbar}\exp\left[\frac{i \epsilon}{\hbar}\left(p\frac{q_{+}-q_{-}}{\epsilon} - H\left(\frac{q_{+}+q_{-}}{2},p\right)\right) \right] \cr ~\approx~& \frac{1}{2\pi\hbar}\exp\left[\frac{i\epsilon}{\hbar}(p\dot{q}-H(q,p)) \right]. \end{align}\tag{7}$$

   Hacemos hincapié en que se hicieron varias aproximaciones en la derivación de la ec. (7) por ejemplo, ignorando las diferencias entre diferentes tipos de símbolos (correspondientes a diferentes tipos de prescripciones de orden). En general, no es cierto que tales aproximaciones (7) estén justificadas en el límite de la división de tiempo infinitesimalmente fina$\epsilon\to 0^{+}$.

Referencias:

1. F. Bastianelli y P. van Nieuwenhuizen, Integrales de trayectoria y anomalías en el espacio curvo, 2006.

2. JJ Sakurai, Modern Quantum Mechanics, 1994, Sección 2.5.

3. A. Auerbach, Interacting Electrons and Quantum Magnetism, 1994, p.102 justo debajo de la ec. (10.6).

$^1$La correspondencia integral operador-camino (1) es en general muy no trivial. Por ejemplo, para la cuantificación de una partícula puntual no relativista en un fondo curvo clásico, los hamiltonianos en los dos lados de la correspondencia (1) difieren en las correcciones de curvatura de segundo orden en$\hbar$. Ver. por ejemplo, ref. 1. Para simplificar la discusión, no abordamos los problemas de regularización/renormalización de la correspondencia (1) en esta respuesta.

$^2$Estrictamente hablando, las derivadas de tiempo dentro del integrando de la ruta formal son una fuente restante de objetos no conmutativos, ya que las derivadas de tiempo deben entenderse ordenadas en el tiempo para reflejar el procedimiento de división de tiempo subyacente. Véase, por ejemplo , this y this Phys.SE answer.

$^3$La multiplicación estándar por puntos$fg=gf$de funciones/símbolos es conmutativa. También existe un llamado producto estrella$f\star g$de funciones/símbolos, que no es conmutativo, ya que refleja la no conmutatividad de la composición del operador correspondiente$\hat{f}\circ \hat{g}$. El producto estrella$\star$en sí depende de la elección de la prescripción de pedidos.

$^4$Los estados propios instantáneos se introducen a menudo en los libros de texto de mecánica cuántica para derivar el formalismo de la integral de trayectoria del formalismo del operador en los casos más simples, véase, por ejemplo, Ref. 2. Nótese que los autoestados instantáneos$\mid q,t \rangle$y$\mid p,t \rangle$son estados independientes del tiempo (como deberían ser en la imagen de Heisenberg).