¿Es siempre posible expresar un operador en términos de operadores de creación/aniquilación?

Question

¿Es siempre posible expresar un operador en términos de operadores de creación/aniquilación?

Zakk

Me refiero a "Enfoque integral de la ruta de los procesos de nacimiento-muerte en una red" , L. Peliti, J. Physique 46, 1469-1483 (1985), disponible en: http://people.na.infn.it/ ~peliti/ruta.pdf

El artículo trata sobre una reformulación de la ecuación maestra para un proceso de Markov en términos del formalismo de integral de trayectoria. Sin embargo, mi pregunta es principalmente sobre Mecánica Cuántica.

El autor define un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ , cuya base ortogonal viene dada por $\mid n \rangle$ , $n \in \mathbb{N}$ , con:

⟨ norte ∣ metro ⟩ = norte! d_{norte, metro}

$\langle n \mid m \rangle = n! \delta_{n,m}$

Los operadores de creación/aniquilación se definen en $\mathcal{H}$ como sigue:

a ∣ norte ⟩ = norte ∣ norte - 1 ⟩

$a \mid n \rangle = n \mid n - 1 \rangle$

π ∣ norte ⟩ =∣ norte + 1 ⟩

$\pi \mid n \rangle = \mid n + 1 \rangle$

y se ven fácilmente los conjugados hermíteos de cada uno, según el producto escalar que acabamos de definir.

Las convenciones son un poco diferentes de la Mecánica Cuántica, pero esto no es realmente relevante para mi pregunta. El autor implica que es posible reescribir cada operador $O: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ sólo en términos (sumas de productos) de operadores de creación/aniquilación.

No puedo demostrar esta afirmación. He intentado tomar los elementos de la matriz de un operador genérico. $O$ , y demostrando que todo se puede reescribir en términos de $a$ y $\pi$ pero en realidad esto no está funcionando.

Miguel

Si escribes el operador genérico

O = \sum_{n, m} o_{n, m} a^{† n} a^{m}

$O=\sum_{n,m} o_{n,m} a^{\dagger n} a^m$ y calcule los elementos de su matriz, obtendrá un sistema lineal infinito. Necesita probar que este sistema es solucionable. Nótese que tiene estructura porque cualquier término con

n + m > i + j

$n+m>i+j$ no contribuye a la

i j

$ij$ elemento matriz. Entonces recomendaría una estrategia inductiva agrupando las ecuaciones por

n + m = 0, 1, 2, \dots

$n+m=0,1,2,\ldots$ . Todo lo que necesita hacer es demostrar que hay suficientes coeficientes nuevos

o_{n, m}

$o_{n,m}$ en cada orden para resolver las nuevas ecuaciones que surgen en ese orden.

Trimok

A partir de una expresión:

O = \sum_{m, n = 0}^{+ \infty} A_{m, n} Π^{m} a^{n}

$O = \sum_{m,n=0}^{+\infty} A_{m,n} \Pi^m a^n$ , obtenemos :

O_{m^{'} n^{'}} = ⟨ m^{'} | O | n^{'} ⟩ = \sum_{m - n = m^{'} - n^{'}, n \leq n^{'}} \frac{n^{'}! m^{'}!}{n!} A_{m, n}

$O_{m' n'} = \langle m'|O|n' \rangle = \sum_{m-n=m'-n', n \leq n'} \frac{n'! m'!}{n!}A_{m,n}$ . Finalmente, hay que expresar la

A_{m, n}

$A_{m,n}$ en función de la

O_{m^{'} n^{'}}

$O_{m' n'}$ . Vale la pena empezar con

n' = 0

$n′=0$ , aumentar

m'

$m′$ fijo

n'

$n′$ , luego aumentar

n'

$n′$ , etcétera.

Respuestas (1)

¿Es siempre posible expresar un operador en términos de operadores de creación/aniquilación?

Si escribes el operador genérico $O=\sum_{n,m} o_{n,m} a^{\dagger n} a^m$ y calcule los elementos de su matriz, obtendrá un sistema lineal infinito. Necesita probar que este sistema es solucionable. Nótese que tiene estructura porque cualquier término con $n+m>i+j$ no contribuye a la $ij$ elemento matriz. Entonces recomendaría una estrategia inductiva agrupando las ecuaciones por $n+m=0,1,2,\ldots$ . Todo lo que necesita hacer es demostrar que hay suficientes coeficientes nuevos $o_{n,m}$ en cada orden para resolver las nuevas ecuaciones que surgen en ese orden.
A partir de una expresión: $O = \sum_{m,n=0}^{+\infty} A_{m,n} \Pi^m a^n$ , obtenemos : $O_{m' n'} = \langle m'|O|n' \rangle = \sum_{m-n=m'-n', n \leq n'} \frac{n'! m'!}{n!}A_{m,n}$ . Finalmente, hay que expresar la $A_{m,n}$ en función de la $O_{m' n'}$ . Vale la pena empezar con $n′=0$ , aumentar $m′$ fijo $n′$ , luego aumentar $n′$ , etcétera.

qmecanico · Answer 1

Dejar

[a, a^{†}] = 1,

$[a,a^{\dagger}]~=~1,$

y deja $|0\rangle$ Sea el estado de vacío: $a|0\rangle=0$ . Definir

| norte ⟩ := \frac{1}{\sqrt{norte!}} (a^{†})^{norte} | 0 ⟩ .

$|n\rangle~:=~ \frac{1}{\sqrt{n!}}(a^{\dagger})^n|0\rangle.$

Entonces

\begin{aligned} a | norte ⟩ = & \sqrt{norte} | norte - 1 ⟩, \\ a^{†} | norte ⟩ = & \sqrt{norte + 1} | norte + 1 ⟩, \\ ⟨ norte | metro ⟩ = & d_{norte, metro} . \end{aligned}

$\begin{align} a |n\rangle ~=~& \sqrt{n} |n-1\rangle, \cr a^{\dagger} |n\rangle ~=~& \sqrt{n+1} |n+1\rangle,\cr \langle n |m\rangle ~=~& \delta_{n,m}. \end{align}$

Considere el espacio de Fock correspondiente ${\cal H}$ . Un operador lineal arbitrario es de la forma

\begin{aligned} T = & \sum_{norte, metro \in {norte}_{0}} | norte ⟩ T_{norte metro} ⟨ metro |, \\ T_{norte metro} := & ⟨ norte | T | metro ⟩ \in C, \end{aligned}

$\begin{align} T~=~& \sum_{n,m\in\mathbb{N}_0} |n\rangle T_{nm} \langle m|, \cr T_{nm}~:=~&\langle n|T |m\rangle~\in~ \mathbb{C},\end{align}$

por lo que basta con estudiar operadores de la forma $|n\rangle \langle m|$ . Es sencillo ver que

| norte ⟩ ⟨ metro | = \sum_{k \in {norte}_{0}} C_{k}^{norte metro} (a^{†})^{norte + k} a^{metro + k},

$|n\rangle \langle m|~=~\sum_{k\in\mathbb{N}_0} c^{nm}_k (a^{\dagger})^{n+k} a^{m+k},$

donde existen coeficientes únicos $c^{nm}_k\in \mathbb{C}$ , que se puede obtener recursivamente a partir de las relaciones

d_{k}^{0} = \sum_{r = 0}^{k} C_{k - r}^{norte metro} \sqrt{\frac{(norte + k)!}{r!} \frac{(metro + k)!}{r!}} .

$\delta_k^0~=~\sum_{r=0}^k c^{nm}_{k-r} \sqrt{ \frac{(n+k)!}{r!} \frac{(m+k)!}{r!} }.$

Me preocupa la integridad de la base. ¿Cómo podemos estar seguros de que todos los estados posibles de la teoría pueden expresarse como una combinación lineal de los estados |n>? por cierto gracias por responder

¿Es siempre posible expresar un operador en términos de operadores de creación/aniquilación?

Zakk

Miguel

Trimok

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