Amplitud de probabilidad para el movimiento de xixix_i a xfxfx_f en la imagen de Heisenberg

Question

Amplitud de probabilidad para el movimiento de xixix_i a xfxfx_f en la imagen de Heisenberg

Física
operadores
espacio de hilbert
integral de trayectoria
evolución del tiempo
mecánica cuántica

Bajo

En el libro Geometry, Topology and Physics de M. Nakahara en la página 19, la amplitud de probabilidad de que una partícula se mueva de $x_i$ en el momento $t_i$ a $x_f$ en el momento $t_f$ se da como

\begin{matrix} (1) & ⟨ X_{F}, t_{F} | X_{i}, t_{i} ⟩ \end{matrix}

$\tag{1} \langle x_f, t_f | x_i, t_i \rangle$

donde se definen los vectores de imagen de Heisenberg

\begin{matrix} (2) & \hat{X} (t_{i}) | X_{i}, t_{i} ⟩ = X_{i} | X_{i}, t_{i} ⟩ \end{matrix}

$\tag{2} \hat{x}(t_i)|x_i, t_i\rangle = x_i|x_i, t_i\rangle$

(y lo mismo para $x_f$ ) con $\hat{x}(t)$ es el operador de posición.

yo nunca he visto $(1)$ antes. ¿ Es esa la fórmula para calcular amplitudes de probabilidad en la imagen de Heisenberg? ¿Por qué los estados dependen del tiempo?

knzhou

Esto me hizo tropezar cuando lo vi por primera vez;

| x, t ⟩

$|x, t\rangle$ significa el estado de Heisenberg que tiene una partícula en

x

$x$ en el momento

t

$t$ . Eso significa que es el estado de Schrödinger que, si existió en el momento

t = 0

$t = 0$ , se convertiría en una partícula en

x

$x$ en el momento

t

$t$ .

knzhou

Para hacer contacto con la definición que conoce, reescriba estos estados de Heisenberg como estados de Schrödinger evaluados en

t = 0

$t = 0$ . Entonces puedes demostrar que la amplitud es igual a

⟨ x_{f} | U_{s} (t_{f}, t_{i}) | x_{i} ⟩

$\langle x_f|U_s(t_f, t_i)|x_i\rangle$ donde todos los estados aquí son estados de Schrodinger, que deberían ser familiares.

Respuestas (1)

Amplitud de probabilidad para el movimiento de xixix_i a xfxfx_f en la imagen de Heisenberg

Esto me hizo tropezar cuando lo vi por primera vez; $|x, t\rangle$ significa el estado de Heisenberg que tiene una partícula en $x$ en el momento $t$ . Eso significa que es el estado de Schrödinger que, si existió en el momento $t = 0$ , se convertiría en una partícula en $x$ en el momento $t$ .
Para hacer contacto con la definición que conoce, reescriba estos estados de Heisenberg como estados de Schrödinger evaluados en $t = 0$ . Entonces puedes demostrar que la amplitud es igual a $\langle x_f|U_s(t_f, t_i)|x_i\rangle$ donde todos los estados aquí son estados de Schrodinger, que deberían ser familiares.

qmecanico · Answer 1

I) La pregunta de OP (v1) parece estar impulsada por una confusión común: el estado propio de la posición instantánea de Heisenberg $|x,t_0\rangle_H$ no evoluciona en el tiempo $t$ pero depende de un parámetro de tiempo $t_0$ . En detalle,

\begin{matrix} (1) & | X, t_{F} ⟩_{H} = {mi}^{i \hat{H} Δ t / ℏ} | X, t_{i} ⟩_{H}, Δ t := t_{F} - t_{i}, \end{matrix}

$\tag{1} | x, t_f \rangle_{H}~=~ e^{i\hat{H}\Delta t/\hbar} | x, t_i \rangle_{H}, \qquad\Delta t~:=~t_f-t_i,$

donde por simplicidad hemos asumido que el hamiltoniano $\hat{H}$ no tiene una dependencia temporal explícita.

II) Entonces

\begin{matrix} (2) & k (X_{F}, t_{F}; X_{i}, t_{i}) =_{H} ⟨ X_{F}, t_{F} | X_{i}, t_{i} ⟩_{H} =_{H} ⟨ X_{F}, t_{0} | {mi}^{- i \hat{H} Δ t / ℏ} | X_{i}, t_{0} ⟩_{H} \end{matrix}

$\tag{2} K(x_f, t_f ; x_i, t_i) ~=~{}_{H}\langle x_f, t_f | x_i, t_i \rangle_{H} ~=~{}_{H}\langle x_f, t_0 |e^{-i\hat{H}\Delta t/\hbar} | x_i, t_0 \rangle_{H}$

es la amplitud de una partícula que va desde la posición inicial $x_i$ en el momento inicial $t_i$ a la posición final $x_f$ en el tiempo final $t_f$ .

Solemos identificar la imagen de Schrödinger y Heisenberg en algún momento fiduciario $t_0$ , cf. comentario anterior de Kevin Zhou. La amplitud (2) no depende del parámetro de tiempo fiduciario $t_0$ .

Amplitud de probabilidad para el movimiento de xixix_i a xfxfx_f en la imagen de Heisenberg

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knzhou

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Respuestas (1)

qmecanico

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