Normalización integral de trayectoria estadística

Así que estoy viendo una integral de trayectoria estadística , lo que significa que trabajo con una acción euclidiana. El propagador de mi integral de trayectoria (de Wiener) viene dado por:

$$K(x_T,T|x_0,0)=\int\limits_{x(0)=0}^{x(T)=x_T}\mathcal{D}x\exp\left(-\int\limits_0^T\left[\frac{m}{2}\left(\dot{x}\right)^2+fx\right]d{t}\right),$$ que es básicamente una partícula libre en un potencial de gravedad. Como la acción es cuadrática, la fórmula WKB $$K(x_T,T|x_0,0)\approx\sqrt{-\frac{1}{2\pi}\frac{\partial^2 S[x_\mathrm{kl}(t)]}{\partial x_0\partial x_T}}\exp\left(-S[x_\mathrm{kl}(t)]\right)$$ debería ser exacto.

La ecuación de movimiento me da que la trayectoria de la partícula que cumple las condiciones de contorno está dada por:

$$x_\mathrm{kl}(t)=\frac{f}{2m}(t-T)t+\frac{x_T- x_0}{T}t + x_0.$$ Usando este camino, puedo calcular la acción clásica que se vuelve igual a: $$S_\mathrm{kl}=-\frac{f^2}{24m}T^3+\frac{f T}{2}(x_T+x_0)+\frac{m}{2}\frac{(x_T-x_0)^2}{T}.$$

Sustituyendo todos mis resultados en la fórmula WKB, se obtiene que el propagador ahora está dado por:

$$K(x_T,T|x_0,0)=\sqrt{\frac{m}{2\pi T}}\exp\left(-\frac{m}{2}\frac{(x_T-x_0)^2}{T}-\frac{f T}{2}(x_T+x_0)+\frac{f^2T^3}{24m}\right).$$ Sin embargo, el problema con este propagador es que no permanece normalizado. Si exijo que el propagador permanezca normalizado en todo momento $T$, entonces mi propagador está dado por: $$K(x_T,T|x_0,0)=\sqrt{\frac{m}{2\pi T}}\exp\left(-\frac{m}{2}\frac{(x_T-x_0)^2}{T}-\frac{f T}{2}(x_T+x_0)+\frac{f^2T^3}{24m}\color{blue}-\color{blue}{\frac{fT}{6}}\left[\color{blue}{\frac{fT^2}{m}-6x_0}\right]\right),$$ lo que produce un término extra en comparación con la primera versión.

Extra: método de intervalos de tiempo

Creo que he encontrado la fuente de mi problema, y ​​se puede ver mirando el propagador infinitesimal dado por

$$K(x_j,t_j|x_{j-1},t_{j-1})=\sqrt{\frac{m}{2\pi\Delta t_j}}\exp\left(x_{j-1} f \Delta t_j + \frac{f^2}{2m}(\Delta t_j)^3\right)\\\times\exp\left(-\frac{m}{2\Delta t_j}\left[x_j-\left(x_{j-1}+\frac{f}{m}(\Delta t)^2\right)\right]^2\right).$$ En la parte superior vemos que la normalización obtiene un factor exponencial adicional que hará que el propagador de la integral de trayectoria (en el tiempo) diverja. ¡También tenga en cuenta que también tiene (más o menos) la misma forma que el factor de normalización necesario (respaldando mi afirmación anterior)!

Pregunta (nueva) : por simplicidad computacional, me gustaría que mi propagador permanezca normalizado. ¿Está bien usar solo la segunda versión normalizada para mis valores esperados, o simplemente está mal? La respuesta a la vieja pregunta, por supuesto, sigue siendo bienvenida, ya que puede volverse relevante para una mayor exploración de la integral de trayectoria.

Pregunta (antigua) : ¿Hay algún tipo de teorema adicional que limite la corrección de las fórmulas de WKB, o me perdí un término importante adicional aquí? He recalculado el resultado un par de veces y todo parece correcto a primera vista.

Acerca de la solución

También verifiqué mi solución en la literatura (Dittrich & Reuter) pero encontraron la misma solución (divergente) sin ninguna explicación. Así que al menos sé que la solución encontrada es correcta. Desafortunadamente, todavía no tengo idea de lo que esto significa para mi física.