¿Qué tipo de operador matemático es la Acción en Mecánica Cuántica?

En mecánica cuántica, estamos acostumbrados a pensar en estados representados por vectores en un espacio de Hilbert (posiblemente infinitamente dimensional, proyectivo), equipado con un producto interno (por ejemplo, el$L_2$norma). Los observables físicos están representados por operadores lineales hermitianos, como el hamiltoniano. En principio, supongo que uno podría definir el Lagrangiano como un operador, pero no sé cómo cuantificar esa afirmación. Más aún, sin embargo, estoy interesado en qué tipo de operador se puede pensar de la acción,$S = \int dt \,L$, como ser. La ecuación de Schrödinger nos dice que el hamiltoniano es el generador de la evolución temporal unitaria, y parece que entonces podríamos decir que el contenido de información de una mecánica cuántica mínima viene dado por "QM$\sim$Espacio de Hilbert + Ecuación de Schrödinger". Con esta base aproximada, se puede continuar con la definición de la integral de trayectoria, a partir de la cual vemos que la acción surge de manera bastante natural, y luego se puede tomar el "límite clásico".$\hbar \rightarrow 0$obtener el principio de acción clásico mediante un argumento de punto de silla. Pero me pregunto cómo se debe pensar en la acción en el contexto de QM. Por ejemplo, podemos definir una función de partición que describa un estado térmico de acuerdo con

$$Z \sim \mathrm{Tr}(e^{-\hat{H}/T})$$ y quizás por analogía se puede pensar en la integral de trayectoria como siendo $$Z \sim \mathrm{Tr}(e^{i \hat{S}/\hbar})$$ pero$\hat{H}$es un operador lineal en un espacio vectorial mientras que "$\hat{S}$" es un "operador" en un espacio de "caminos" (¿secuencias continuas de estados en un espacio de Hilbert?).

Me pregunto cómo se puede hacer esto más concreto. Me parece que la diferencia fundamental radica en que la acción implica una integral en el tiempo mientras que el hamiltoniano es el generador de la evolución temporal. Esto sugiere que se podría pensar en$\hat{H}$como si estuviera en una especie de "álgebra de mentiras" mientras$S$está en su "grupo de mentiras", si puedo abusar de alguna terminología y abstraer un poco los conceptos (Mi comprensión de estos temas aún es un poco vaga e incompleta, si entiendo correctamente, los operadores de evolución temporal$U(t) = e^{-i\hat{H}t/\hbar}$estaría en el grupo de Lie generado por$\hat{H}$. En ese caso, ¿cuál es el espacio en el que vive/actúa la acción?)