Relación del punto de evaluación en la integral de trayectoria con ambigüedades de ordenación. Ejemplo con partículas en el campo de calibre

Estoy estudiando un libro de texto de Schulman od Path Integration. En los primeros capítulos de este libro, utiliza la forma lagrangiana de la integral de trayectoria y llega a la conclusión de que cuando una partícula se mueve en un campo de calibre externo, es necesario utilizar la regla del punto medio para la evaluación de$\vec A (\vec x)$en integrales de trayectoria. Me gustaría comparar eso con lo que se hace en Weinberg (campos cuánticos). Allí explica que la elección del punto de evaluación es equivalente a elegir el orden de los operadores en la contrapartida cuántica de la función clásica. Seguí los pasos realizados allí y descubrí que podemos construir integrales de trayectoria evaluadas usando la regla del punto final siempre que tomemos el hamiltoniano clásico como

$$H_{eff}= \frac{(\vec p - q \vec A)^2 + iq \vec \nabla A}{2m} + q V (\vec x).$$ Si realizamos la integración gaussiana en la versión hamiltoniana de la integral de trayectoria, obtenemos la formulación lagrangiana con Lagrangian $$L_{eff} = \frac{m}{2} \dot{\vec{x}}^2 + q \vec A \cdot \dot{\vec x} - \frac{iq}{2m} \vec{\nabla} \cdot \vec A - q V (\vec x) .$$ Se puede verificar directamente que con esta elección de la fórmula integral de ruta habitual de Lagrangian aproximada con el método del punto de silla produce resultados correctos en el sentido de que la función de onda satisface la ecuación de Shrodinger con el operador hamiltoniano correcto. Al principio parece que todo está en orden, ¡pero en realidad no del todo! El problema es que la acción obtenida con estos $L$o $H$no se transforma "como debería" bajo transformaciones de calibre. Parece que aquí se pierde algo importante.

Pregunta: ¿Se pueden realmente tratar en serio las explicaciones de Weinberg? ¿Cuál es la relación exacta entre el punto de evaluación en la integral de trayectoria y las ambigüedades de orden en la cuantificación? ¿Hay alguna manera de preservar la covarianza de calibre obtenida por el procedimiento presentado en Weinberg (con regla de punto final)?