En el libro de Dyson "Teoría cuántica de campos", en la sección sobre el principio de acción de Schwinger, presenta el método de integral de trayectoria de Feynman para obtener amplitudes de transición:
Aquí, se supone que es un estado propio del operador de campo con valor propio en un espacio como plano en el espacio-tiempo de 4 dimensiones por simplicidad elijo el plano con , y así escribió por simplicidad.
De la misma manera es un estado propio en el tiempo (Por "estado propio en ", quiero expresar que es un estado propio del operador en , entonces el operador es ). Tenga en cuenta que debido a que el operador puede cambiar en el tiempo, no es necesariamente 1.
Supongo que está trabajando en la imagen de Heisenberg aquí, porque si no lo estuviera, debería haber un operador de evolución temporal entre los dos estados, que aparentemente no está allí.
Posteriormente, Dyson introduce elementos de matriz como una suposición adicional:
Mi pregunta: ¿Puedo derivar esta fórmula de la primera fórmula dada, que se ocupa únicamente de las amplitudes de transición de los estados?
Intenté hacerlo, pero siempre fallo en algún punto: asumo la integridad de los vectores propios ampliar la operador y ponerlo en
Sin embargo, no puedo derivar esta ecuación para que se cumpla si los estados no son vectores propios de , y por lo tanto la pregunta.
Los campos que aparecen en el libro de Dyson describen coordenadas canónicas cuyos operadores cuánticos correspondientes conmutan por definición en tiempos iguales:
Para calcular elementos matriciales de este tipo de operadores, es casi inevitable utilizar integrales de trayectoria en el espacio de fases, que son más generales que las integrales de trayectoria en el espacio de coordenadas de configuración.
Este tipo de integrales de trayectoria no son muy populares en la teoría cuántica de campos, donde los operadores interesantes suelen ser polinomios en las variables de campo, por lo tanto, diagonales en el espacio de configuración de la teoría de campos. Además, tanto la configuración como los espacios de fase son de dimensión infinita en este caso, lo que complica aún más el problema.
Sin embargo, en la mecánica cuántica, existe una teoría de integración de caminos espaciales de fases bastante desarrollada. Permítanme usar aquí los símbolos y para las coordenadas canónicas y los momentos habituales en la mecánica cuántica.
Entonces, el problema que abordaré es el cálculo de un elemento de matriz de un operador que depende tanto de las coordenadas canónicas como de los momentos canónicos entre diferentes estados propios de coordenadas de tiempo. Este operador, por supuesto, no es diagonal en la base de coordenadas.
Dado que hay muchos operadores cuánticos que corresponden a la misma función clásica en el espacio de fase, la integración no puede, en general, realizarse en el operador mediante un simple reemplazo de los operadores canónicos por las funciones correspondientes en el espacio de fase. En segundo lugar, el resultado dependerá del método de discretización de la integral de trayectoria en el cálculo del elemento de matriz.
Resulta que las soluciones a ambos problemas descritos anteriormente están conectadas, es decir, existen esquemas de ordenamiento de operadores y esquemas de discretización correspondientes para los cuales el cálculo del elemento de matriz mediante la integral de trayectoria será correcto. Véase la siguiente tesis de Valtakoski, donde se analiza en detalle este problema. Por ejemplo, si utilizamos el ordenamiento de Weyl y discretizamos la integral de trayectoria en los puntos medios obtenemos resultados correctos (tabla 3.2 de la tesis).
Respuesta a la pregunta de seguimiento
Por el contrario, el problema del orden existe y es mucho más difícil en la teoría cuántica de campos. Solo dije que, en general, las personas están más interesadas en los elementos matriciales de las configuraciones de campo. Preferí considerar las integrales de trayectoria de la mecánica cuántica porque existen resultados rigurosos y el resultado de la integral de trayectoria se puede comparar con otros métodos, como la cuantificación canónica.
En la teoría cuántica de campos, cuando los operadores dependen de las configuraciones de campo y sus momentos, los esquemas de ordenación y discretización de operadores influyen en los resultados; y, en general, el problema puede ser mucho más difícil debido a la dimensionalidad infinita del espacio de fase y también a la falta de otros métodos de cuantificación con los que comparar.
En el ejemplo dado: la derivada , la derivada del tiempo: no conmuta en tiempos iguales con las configuraciones de campo (a diferencia de las derivadas espaciales que se desplazan). Para los operadores que contienen esta derivada, todavía se puede usar el esquema de ordenación de Weyl y la discretización del punto medio porque el espacio de fase del campo escalar, aunque de dimensión infinita, se puede cuantificar de acuerdo con las reglas de cuantificación canónica.
Cuando la teoría contiene fermiones, entonces los espinores conjugados complejos ya no conmutan en tiempos iguales con las configuraciones fermiónicas. Aquí hay una necesidad de ordenamiento de operadores fermiónicos y reglas de discretización fermiónicas para evaluar la integral de ruta correctamente, consulte la revisión de Bastianelli y van Nieuwenhuizen .
Para los campos de calibre, el problema es aún más difícil, porque su espacio de fase no es plano debido a las restricciones y no creo que exista ningún resultado riguroso sobre el orden y la discretización.
Finalmente, tenga en cuenta que reemplazar ingenuamente un operador no diagonal por un símbolo clásico en la integral de trayectoria casi seguramente producirá resultados que son correctos solo semiclásicamente, porque la ordenación introduce errores del orden de debido a los conmutadores que no desaparecen.
látigo cuántico
David Bar Moshé