Ejercicio sobre una forma 1 en una variedad

Question

Ejercicio sobre una forma 1 en una variedad

Matemáticas
orientación
formas-diferenciales
geometría diferencial

vladimir

Estoy luchando un poco pensando en este ejercicio aparentemente inocente. Proporcionaré una solución incompleta.

Ejercicio

Dejar $M$ frijol $n$ -atenuar el colector y dejar $S\subset M$ ser un incrustado $(n-1)$ -dim subvariedad. Para cada $P\in M$ identifiquemos el espacio tangente $T_PS$ con su imagen en $T_PM$ a través del diferencial de la inclusión de $S$ en $M$ .

$(i)$ Dejar $\alpha\in A^1(M)$ ser un $1$ -formulario en $M$ tal que $T_PS\subseteq \ker(\alpha_P)$ , para cada $P\in S$ . Pruebalo $(\alpha\wedge d\alpha)_P=0$ , para cada $P\in S$ .

Solución (yo)

Ahora si $\alpha$ es un $1$ -formulario en $M$ tal que $T_PS\subseteq \ker(\alpha_P)$ para cada $P\in S$ , entonces, por cada $P\in S$ existe un gráfico local $\phi=(x^1,\ldots,x^n)$ en $P$ tal que, con respecto a esas coordenadas,

α = α_{norte} (X) d X^{norte},

$\alpha=\alpha_n(x)dx^n,$

es decir, todos los coeficientes de $\alpha$ son cero excepto por el $n$ -th (¡pero no estoy del todo seguro!). Entonces obtenemos

d α = \sum_{i = 1}^{norte - 1} \frac{\partial α_{norte} (X)}{\partial X^{i}} d X^{i} \land d X^{norte}

$d\alpha=\sum_{i=1}^{n-1}\frac{\partial\alpha_n(x)}{\partial x^i}dx^i\wedge dx^n$ y

(α \land d α) = α_{norte} (X) d X^{norte} \land \sum_{i = 1}^{norte - 1} \frac{\partial α_{norte} (X)}{\partial X^{i}} d X^{i} \land d X^{norte} = \sum_{i = 1}^{norte - 1} α_{norte} (X) \frac{\partial α_{norte} (X)}{\partial X^{i}} d X^{norte} \land d X^{i} \land d X^{norte} = 0

$(\alpha\wedge d\alpha)=\alpha_n(x)dx^n\wedge\sum_{i=1}^{n-1}\frac{\partial\alpha_n(x)}{\partial x^i}dx^i\wedge dx^n=\sum_{i=1}^{n-1}\alpha_n(x)\frac{\partial\alpha_n(x)}{\partial x^i}dx^n\wedge dx^i\wedge dx^n=0$

$(ii)$ Supongamos ahora que $M$ está orientado y deja $\omega\in A^n(M)$ ser una forma de volumen asociada a la orientación fija. Demuestra que por cada $(n-1)$ -forma $\phi\in A^{n-1}(M)$ existe un único campo vectorial $X^\phi\in\mathcal{T}(M)$ tal que

ϕ_{PAG} (v_{1}, \dots, v_{norte - 1}) = ω_{PAG} (v_{1}, \dots, v_{norte - 1}, X_{PAG}^{ϕ})

$\phi_P(v_1,\ldots,v_{n-1})=\omega_P(v_1,\ldots,v_{n-1},X_P^\phi)$

para cada $P\in M$ y cada $v_1,\ldots,v_{n-1}\in T_PM$ . Además, prueba que $\Theta\colon A^{n-1}(M)\to\mathcal{T}(M)$ definido por $\Theta(\phi)=X^\phi$ es un isomorfismo.

Para este segundo problema realmente no sé cómo empezar.

Ted Shifrin

Sí, para la primera parte, está eligiendo coordenadas locales en

M

$M$ en el cual

S

$S$ es dado por

x^{n} = 0

$x^n=0$ . Para la segunda parte, tal vez deberías pensar en el mapa inverso.

Θ^{- 1}

$\Theta^{-1}$ (recordando que

Λ^{n - 1} (T_{P}^{*} M)

$\Lambda^{n-1} (T^*_PM)$ y

T_{P} M

$T_PM$ son cada uno

n

$n$ -dimensional).

Faraad Armwood

@TedShifrin: ¿No debería haber también un comentario sobre el hecho de que

α_{p} = \sum_{i = 1}^{n - 1} a_{n} (p) (d x^{i})_{p}

$\alpha_p = \sum_{i=1}^{n-1} a_n(p) \ (dx^i)_p$ ? (es decir, una suma, no sólo

a_{n} d x^{n}

$a_n dx^n$ ).

Ted Shifrin

@Faraad: No, desde

S

$S$ está dada localmente por

x^{n} = 0

$x^n=0$ ,

d x^{n}

$dx^n$ es el

1

$1$ -forma que aniquila sus espacios tangentes. Entonces

α = f d x^{n}

$\alpha = f dx^n$ para una función suave en ninguna parte cero

f

$f$ .

Faraad Armwood

@TedShifrin: Hmm, necesito leer un poco más porque, en todo caso, la suma debería ser hasta

n - 1

$n-1$ desde

(x^{1}, . . ., x^{n - 1}, 0)

$(x^1,...,x^{n-1},0)$ define localmente

S

$S$ .

Ted Shifrin

No, @Faraad. Pensar en

1

$1$ -formas

ω

$\omega$ en

R^{2}

$\Bbb R^2$ cuya restricción a la

x

$x$ -eje es

0

$0$ . (Oficialmente, retroceda por el mapa de inclusión). ¿Se ven como

f d x

$f\,dx$ o

f d y

$f\,dy$ ?

Respuestas (2)

Ejercicio sobre una forma 1 en una variedad

Sí, para la primera parte, está eligiendo coordenadas locales en $M$ en el cual $S$ es dado por $x^n=0$ . Para la segunda parte, tal vez deberías pensar en el mapa inverso. $\Theta^{-1}$ (recordando que $\Lambda^{n-1} (T^*_PM)$ y $T_PM$ son cada uno $n$ -dimensional).
@TedShifrin: ¿No debería haber también un comentario sobre el hecho de que $\alpha_p = \sum_{i=1}^{n-1} a_n(p) \ (dx^i)_p$ ? (es decir, una suma, no sólo $a_n dx^n$ ).
@Faraad: No, desde $S$ está dada localmente por $x^n=0$ , $dx^n$ es el $1$ -forma que aniquila sus espacios tangentes. Entonces $\alpha = f dx^n$ para una función suave en ninguna parte cero $f$ .
@TedShifrin: Hmm, necesito leer un poco más porque, en todo caso, la suma debería ser hasta $n-1$ desde $(x^1,...,x^{n-1},0)$ define localmente $S$ .
No, @Faraad. Pensar en $1$ -formas $\omega$ en $\Bbb R^2$ cuya restricción a la $x$ -eje es $0$ . (Oficialmente, retroceda por el mapa de inclusión). ¿Se ven como $f\,dx$ o $f\,dy$ ?

Faraad Armwood · Answer 1

(1) Todavía estoy armando una solución, pero gracias a @Ted Shifrin, puedo aclarar tu primer comentario sobre la expresión. $\alpha$ . Dejar $\iota: S \to M$ Sea el mapa de inclusión entonces $\iota^*: T_pM \to T_pS$ . ahora toma $(U,\phi) = (U, x^1,...,x^n)$ ser un gráfico en $M$ entonces $\omega \in \Omega^1(M) \Rightarrow \omega_p = \sum_{i=1}^n a^i(p)\ dx^i$ . Considerar;

{yo}^{*} ω = \sum_{1}^{norte} (a^{i} \circ yo) d (X^{i} \circ yo) = \sum_{1}^{norte - 1} (a^{i} \circ yo) d (X^{i} \circ yo)

$\iota^*\omega = \sum_1^n (a^i \circ \iota) \ d(x^i \circ \iota) = \sum_1^{n-1} (a^i \circ \iota) \ d(x^i \circ \iota)$

es decir, si desea un formulario 1 en $M$ que tiene su propiedad, necesita disponer de $dx^j$ para $1 \leq j \leq n-1$ . Por lo tanto, tienes $\alpha = f dx^n$ dónde $f$ no se desvanece.

Esto no funciona. solo tienes la igualdad $\alpha = fdx^n$ en puntos de $S$ y por lo tanto no se puede derivar esta ecuación.

david perrella · Answer 2

Su enfoque para (i) solo funciona cuando $\alpha$ tiene su núcleo en una foliación definida por alguna función. Sin embargo, la situación en la que te encuentras es más delicada y tenemos que hacer algunas cosas puntualmente. Por ejemplo, podríamos tener $\alpha = x \alpha_0$ dónde $\alpha_0 = dz-ydx$ es la estructura de contacto estándar en $\mathbb{R}^3$ . Esto ciertamente no puede expresarse localmente como $fdx$ cerca de $x = 0$ avión.

Primero, usando la inclusión $i : S \subset M$ , tenemos eso $i^*\alpha = 0$ y por lo tanto $i^*d\alpha = d i^*\alpha = 0$ . Esto significa que para cualquier vector $u,v \in T_p M$ , tangente a $S$ en $p \in S$ , tenemos $\alpha(u) = 0 = d\alpha(u,v)$ .

Si contraemos con dos vectores tangentes $u,v$ a $S$ en $p \in S$ , así tenemos

\begin{aligned} i_{tu} i_{v} (α \land d α) |_{pag} & = i_{tu} (i_{v} α |_{pag} \land d α |_{pag} + (- 1)^{2} α |_{pag} \land i_{v} d α |_{pag}) \\ = i_{tu} (α |_{pag} \land i_{v} d α |_{pag}) \\ = i_{tu} α |_{pag} \land i_{v} d α |_{pag} + (- 1)^{1} α |_{pag} \land i_{tu} i_{v} d α |_{pag} \\ = 0. \end{aligned}

$\begin{align*} i_u i_v(\alpha \wedge d\alpha)|_p &= i_u(i_v\alpha|_p \wedge d\alpha|_p + (-1)^2\alpha|_p \wedge i_vd\alpha|_p)\\ &= i_u(\alpha|_p \wedge i_vd\alpha|_p)\\ &= i_u\alpha|_p \wedge i_vd\alpha|_p + (-1)^1\alpha|_p \wedge i_ui_vd\alpha|_p\\ &= 0. \end{align*}$ Usando álgebra lineal básica, es suficiente verificar la afirmación con dos tipos de triples de vectores

(n, u, v) \in (T_{p} M)^{3}

$(n,u,v) \in (T_p M)^3$ . El primer caso es cuando cada vector es tangente a

S

$S$ y la segunda es cuando

n

$n$ es transversal a

S

$S$ en

p

$p$ mientras que el resto son tangentes. Nuestro cálculo anterior muestra que el resultado siempre será cero. De este modo,

α \land d α |_{S} = 0

$\alpha \wedge d\alpha|_S = 0$ .

Con respecto a (ii), esto se puede analizar en un punto. Es decir, en un espacio vectorial $V$ de dimensión $n$ con forma de volumen $\mu$ , se puede demostrar que el $(n-1)$ las formas son de dimensión $n$ . Después de esto, solo tenga en cuenta que el mapa (una contracción) tiene un núcleo trivial porque $\mu$ es una forma de volumen y aplica nulidad de rango. Que su mapa envíe cosas suaves para suavizar las cosas simplemente se sigue de mirar todo en un gráfico.

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Respuestas (2)

Faraad Armwood

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