¿Por qué las formas diferenciales deben ser antisimétricas?

EDITAR: No puedo evitar dar más contexto a esto.

El objetivo final es encontrar una manera de definir una integral en una variedad sin usar ninguna estructura geométrica como una métrica de Riemann. Por qué alguien pensaría que esto debería ser posible está más allá de mí. Pero ahora que sabemos la respuesta, podemos inventar una historia como la siguiente.

Si va a integrar algo sobre una variedad, será mejor que comience con la situación más simple posible. La forma habitual de comenzar es cortar una región 2d en rectángulos y hacer una suma ponderada de las áreas de los rectángulos. Pero esa construcción es claramente dependiente de las coordenadas.

Entonces, el enfoque inicial es definir el área de un rectángulo en un espacio vectorial abstracto$V$(no$\mathbb{R}^2$porque eso implica coordenadas). Pero en$V$no hay rectángulos, sólo paralelogramos.

Por lo tanto, queremos mostrar que el área del paralelogramo dividida por dos vectores en$\mathbb{R}^2$se puede definir de una manera puramente abstracta que usa solo la estructura del espacio vectorial y ninguna otra suposición sobre$V$. Para ello, la idea es utilizar lo que sabemos sobre el área de un paralelogramo en el espacio euclidiano pero sin depender de ninguna fórmula para ello.

Dejar$A(v,w)$Sea el área del paralelogramo atravesada por$v, w \in V$. Tenga en cuenta que la función de área está realmente bien definida solo hasta un factor escalar, pero solo trabajaremos con uno de ellos. Queremos obtener las propiedades de$A$usando, digamos, solo imágenes y geometría básica.

Por conveniencia, dibujemos$v$horizontalmente y observe que cualquier vector no paralelo a$v$apunta hacia arriba o hacia abajo.

La imagen

muestra que si ambos vectores$w_1, w_2$ambos apuntan hacia arriba, entonces

La idea brillante que se le ocurrió a alguien es que tiene sentido omitir el valor absoluto y llamar$A(v,w)$el área firmada del paralelogramo. Linealidad con respecto a$w$implica que el área del paralelogramo es positiva si$w$apunta hacia arriba y negativo si apunta hacia abajo. Aparece ahora la antisimetría, porque si$w$apunta hacia arriba en relación con$v$, entonces$v$apunta hacia abajo en relación con$w$. Por lo tanto

Note que nunca usamos coordenadas, longitud o ángulo para derivar esta conclusión. Entonces$A$está bien definida, hasta un factor constante distinto de cero, con respecto a cualquier transformación lineal de$V$. La orientación ahora aparece porque el factor constante tiene signo.

Entonces, ¿por qué usar el área firmada en lugar del área? El hecho de que$A$es algebraicamente mucho más fácil de trabajar que$|A|$es una fuerte motivación. Sin embargo, el factor decisivo es el teorema de Stokes. En este punto, uso coordenadas y considero un rectángulo en$\mathbb{R}^2$. El objetivo es encontrar un segundo teorema fundamental del cálculo. Si finalmente desea que esta coordenada sea independiente, entonces la única integral posible alrededor del límite es una integral de línea. Si escribes la fórmula para una integral de línea (de un$1$-forma) y aplicar el teorema fundamental 1d del cálculo, la integral doble resultante se ve fácilmente como un 2-tensor antisimétrico. En este cálculo, verás cómo definir la derivada exterior de un$1$-Formar y demostrar el teorema de Stoke en un rectángulo.

Además, si omite el valor absoluto, puede unir rectángulos y extender el teorema de Stokes a variedades con límite. Eso no es posible con las densidades.

A partir de aquí, es sencillo desarrollar el cálculo de formas diferenciales.

Hay un tema general en matemáticas que si introduces$\pm$en su definición, a menudo conduce a mejores propiedades matemáticas. Primero te encuentras con esto en cálculo. tu defines$\int_a^b f$ser igual a$-\int_b^a f$por la sencilla razón de que está obligado a hacerlo si desea que la "regla de sustitución" funcione en general.

Cuando se trata de formas diferenciales, son generalizaciones de área. Suponer$A(x,y)$representa el área determinada por dos vectores$x,y$en el avión$\mathbb{R}^2$. Si elige definir el área usando solo la convención positiva, entonces$A(cx,y) = |c| A(x,y)$. Nótese la presencia de$|c|$, esto ahora hace que las propiedades de$A(\cdot,\cdot)$más molesto de tratar.

Además, si usamos el área orientada, entonces$A(x,y) = -A(y,x)$, en particular implica que$A(x,x) = -A(x,x)$, y entonces$A(x,x) = 0$, que es exactamente lo que debería ser ya que no se ha formado ningún área.

Y luego puedes seguir adelante. Las propiedades bilineales de$A(\cdot,\cdot)$simplemente no funcionará si te obligas a usar el área absoluta en su lugar.

Las formas diferenciales se pueden usar para definir la orientación en variedades suaves, y depende en gran medida de que sea antisimétrica. Para ser más precisos, primero observe que si tiene un espacio vectorial$V$de dimensión$n$, entonces el mapa$\det:V^n\rightarrow \mathbb{R}$es un antisimétrico$n$-función lineal (haga una matriz con vectores colocándolos uno al lado del otro, luego calcule el determinante). Puedes comprobar que cualquier$n$-el mapa antisimétrico lineal es solo algunos tiempos constantes$\text{det}$. Ahora suponga que tiene una variedad suave$M$de dimensión$n$, y tienes un diferencial cero en ninguna parte$n$-forma$\omega$. Luego en cada$p\in M$,$\omega$le permite elegir orientaciones para$T_pM$y esta orientación "depende suavemente de$p$y esta orientación será compatible en toda la variedad. Más precisamente, una variedad suave M es orientable (lo que significa que puede elegir un atlas tal que las funciones de transición conserven la orientación) si y solo si$M$admite un diferencial cero en ninguna parte$n$-forma.

$\newcommand\form[1]{\langle#1\rangle} \newcommand\K{\mathbb K} \newcommand\R{\mathbb R} \newcommand\linspan{\mathrm{span}} \newcommand\Extsym{{\textstyle\bigwedge}} \newcommand\Ext{\mathop\Extsym} \newcommand\Blades[1]{\mathop{\Extsym^{\!(k)}}} \newcommand\MVects[1]{\mathop{\Extsym^{\!k}}} \newcommand\dd{\mathrm d} \newcommand\lintr{\mathbin{{\lrcorner}}}$

Aquí hay una perspectiva que no veo representada del todo. Para empezar, consideramos un$n$-espacio vectorial real dimensional$V$, aunque mucho de esto se generaliza a otros campos.

Lo que deseamos hacer ahora es encontrar una forma algebraica de representar subespacios de$V$. Dado un objeto hipotético$X$representando un subespacio$[X] \subseteq V$, queremos un producto$\wedge$tal que

• bilinealidad,
• asociatividad,
• $\forall v \in V.\, v\wedge v = 0$,

y resulta que estos hacen las condiciones

Dejar$M$sea ​​una variedad diferenciable. una subvariedad$S \subseteq M$tiene en cada punto$x \in M$un subespacio tangente único$S_x \subseteq T_xM$. Vamos a darnos cuenta de cada$S_x$como una cuchilla en$\Ext V$. Definimos un acolchado$k$-superficie como$k$subvariedad dimensional$S \subseteq M$junto con un mapa$M \to \Blades kT_xM$escrito$x \mapsto S_x$tal que$S_x = 0$si y si$x \not\in S$y tal que$[S_x] = T_xS \subseteq T_xM$.

una integral $I$toma una subvariedad$S$y devuelve un escalar$I(S)$. Heurísticamente, tal integral debería asignar un peso$w_x$a cada$x \in S$, a partir del cual

Integrando sobre dos superficies$S, S'$independientemente debe dar la suma de sus integrales. Defina la suma formal de dos superficies acolchadas como una multisuperficie donde:

La escala de$S$por$a \in \K$debería resultar en que sus espacios tangentes sean escalados:$(aS)_x = aS_x$. Sin embargo, también podríamos lograr una escala de$S$escalando el$k$-volumen$\epsilon \mapsto a\epsilon$. (Ambos puntos de vista también son razonables cuando$a$incluye un cambio en la orientación.) Se sigue que

Así que cada uno$I_x$es una forma lineal en grado-$k$multivectores; dado que el álgebra exterior es una suma directa de grados, podemos dejar que cada$I_x$ser una forma lineal en$\Ext T_xM$, es decir$I_x \in (\Ext T_xM)^*$. (Esto se puede considerar simplemente como un paquete de integrales para subvariedades de todas las dimensiones).

Nuestro objetivo ahora es describir$(\Ext V)^*$para un espacio vectorial$V$. Hay múltiples formas de llegar a un emparejamiento bilineal natural.$\Ext V^*\times\Ext V \to \K$que puede definirse por

De esta forma, una forma diferencial es necesariamente una sección del fibrado cotangente$T^*M$.

El producto interior (izquierda) $\lintr : \Ext V\times\Ext V^* \to \Ext V^*$viene dado por los adjuntos del producto exterior: para$X^* \in \Ext V^*$y$Y, Z \in \Ext V$

Aplicando esta interpretación a una forma diferencial$\omega$sin embargo, no es útil.$[\omega_x]$nos dice que$\omega$ aniquila en$x$, y entonces$\omega_x(X)$para$X \in \Ext T_xM$nos dice (hasta la orientación) "a qué distancia"$[X]$es desde$[\omega_x]$. Pero queremos saber qué$\omega$ mide cuando se integra, no lo que se ignora .

coordenadas dadas$(x^i)_{i=1}^n$para abierto$U \subseteq M$, hay una base asociada$\{e_i(x)\}_{i=1}^n \subset T_xM$para cada$x \in U$definido por

Los mapas lineales$\xi_x : T_xM \to T^*_xM$que toman$e_i \mapsto \xi(e_i) = e^i$definir una "métrica" ​​en$U$a través de$g(u, v) = \xi(u)(v)$. Esto es lo que nos permite interpretar satisfactoriamente formas diferenciales expresadas en coordenadas. Si$[X^*]$qué es$X^*$ignora, entonces$[X^*]^\perp$bajo la métrica$g$es exactamente lo que mide. Por ejemplo,

• $[\dd x^i]^\perp$es la línea ortogonal al hiperplano$x^i = 0$.
• $[\dd x^1\wedge\dd x^2]^\perp$es el plano ortogonal a la intersección de los hiperplanos$x^1 = 0$y$x^2 = 0$.

Más prácticamente,$\xi_x$se extiende a un isomorfismo$\Ext T_xM \cong \Ext T^*_xM$De dónde$[X^*]^\perp = [\xi^{-1}(X^*)]$. Esto significa que podemos interpretar, por ejemplo,$\dd x^i$como medir qué tan cerca está un vector del$\xi^{-1}(\dd x^i) = e_i$línea, o$\dd x^1\wedge\dd x^2$como medir qué tan cerca está un avión del$e_1\wedge e_2$avión.

A$(0,n)$-tensor$w$es antisimétrico$\iff$ $w(v_{1},...,v_{n})=0$cuando$v_{1},...,v_{n}$son linealmente dependientes.

Dejar$V$Sea un espacio vectorial. Definimos un$n$-volumen como$n$-mapeo lineal$Vol^{n}:V^{n}=V\times...\times V\to\mathbb{R}$tal que si$v_{1},...,v_{n}$son vectores linealmente dependientes entonces$Vol(v_{1},...,v_{n})=0$.

Esto es rocío de un argumento visual: en$\mathbb{R}^{3}$, tres vectores linealmente dependientes se encuentran en el mismo plano, por lo que el paralelepípedo que forman ocupa un volumen de$0$.

Del mismo modo, en$\mathbb{R}^{2}$dos vectores linealmente dependientes se encuentran en la misma línea, por lo que el paralelogramo que forman ocupa un área de$0$. En este caso lo llamamos área en lugar de 2 volúmenes.

La condición "linealmente dependiente$\implies$volumen igual$0$" es equivalente a ser antisimétrico, por lo que los volúmenes definidos anteriormente son exactamente los$n$-formas. La equivalencia es muy fácil de comprobar, todo se debe a que en ambos casos la repetición de vectores implica la anulación del tensor.

Entonces un campo de$n$-formas$w$es solo una forma de medir el volumen de$n$campos vectoriales, dándote la función que mide su volumen en cada punto del espacio tangente de la variedad.

Para integrar un diferencial$k$-forma$\omega$sobre un suave$k$-colector$M$, hacemos lo siguiente:

1. picar$M$en pedazos diminutos, de modo que cada pedazo sea (aproximadamente) un pequeño paralelepípedo.
2. Calcule la contribución de cada pieza. Si la i-ésima pieza es (aproximadamente) un paralelepípedo basado en el punto$p \in M$y atravesada por vectores tangentes$v_1, \ldots, v_k$, entonces la contribución de la i-ésima pieza es$\omega_p(v_1, \ldots, v_k)$.
3. Sume todas las contribuciones individuales.

En el paso 2, si dos de los vectores tangentes son iguales, entonces el paralelepípedo está degenerado y su contribución a la integral debe ser$0$. Se puede demostrar que si la función multilineal$\omega_p$tiene esta propiedad entonces$\omega_p$está alternando.