Prueba del lema de Cartan: ¿por qué los coeficientes son suaves?

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Prueba del lema de Cartan: ¿por qué los coeficientes son suaves?

Matemáticas
colectores suaves
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geometría diferencial

culpar

Soy nuevo en geometría diferencial y estoy luchando con la prueba del lema de Cartan. La versión que estoy tratando de probar es la siguiente.

Dejar $M$ ser un suave $n$ -colector, $\omega^1,...,\omega^k,\alpha^1,...,\alpha^k$ ser formas 1 suaves tales que

El $(\omega^i)$ son linealmente independientes
$\sum_{i=1}^k \alpha^i \wedge \omega^i= 0$ .

Entonces el $(\alpha^i)$ son combinaciones lineales lineales suaves de los $(\omega^i)$ .

No veo cómo probar la parte "suave".

Así es como me las arreglé para probar el hecho de que cada $\alpha^i$ es generado linealmente por el $(\omega^i)$ . En el segundo supuesto, tome el producto cuña con $\omega^1 \wedge ... \wedge \omega^{k-1}$ Llegar

α^{k} \land ω^{k} \land ω^{1} \land . . . \land ω^{k - 1} = 0.

$\alpha^k \wedge \omega^k \wedge \omega^1 \wedge ... \wedge \omega^{k-1} = 0.$ Sé que para los covectores esto significa que son linealmente dependientes, por lo que para todos

p \in M

$p \in M$ ,

α_{p}^{1}, ω_{p}^{1}, . . ., ω_{p}^{k}

$\alpha_p^1 , \omega^1_p,...,\omega^k_p$ son linealmente dependientes. Dejar

λ, μ_{1}, . . ., μ_{k}

$\lambda, \mu_1,...,\mu_k$ ser reales no todos nulos tal que

λ α_{pag}^{k} + \sum_{i = 1}^{k} m_{i} ω_{pag}^{i} = 0.

$\lambda \alpha_p^k + \sum_{i=1}^k \mu_i\omega_p^i = 0.$ no podemos tener

λ = 0

$\lambda = 0$ porque entonces por la primera suposición

λ = μ_{1} = . . . = μ_{k} = 0

$\lambda = \mu_1 = ... = \mu_k = 0$ . Eso es

α_{p}^{k} \in ⟨ ω_{p}^{i} ⟩_{i = 1}^{k}

$\alpha_p^k \in \langle \omega_p^i \rangle_{i=1}^k$ .

Se puede hacer el mismo trabajo hasta un cambio de índice para demostrar que $\alpha_p^i \in \langle \omega_p^i \rangle_{i=1}^k$ para $i = 1,...,k$ arbitrario.

Ahora no sé cómo probar que los coeficientes son suaves, mi idea sería obtener una fórmula y ver si es suave. $p$ pero no veo cómo realizar esta operación.

Se agradecería cualquier sugerencia en esta dirección, o un hecho general sobre la geometría diferencial que garantice que los coeficientes sean uniformes.

Respuestas (2)

Prueba del lema de Cartan: ¿por qué los coeficientes son suaves?

azul · Answer 1

Su razonamiento es correcto, creo que el único "problema" es que está perdiendo un poco de información en el paso donde dice "Sé que para los covectores esto significa [...]".

El $2$ las hipótesis para el lema de Cartan son verdaderas para las formas diferenciales , pero en ese paso, solo lo está demostrando para los covectores ( es decir , para las formas diferenciales restringidas a un punto de su variedad). Entonces pierdes la información de lo que está pasando "alrededor $p$ ".

Mientras que, en realidad, si comienzas con un suave $1$ -forma $\omega$ en una variedad, se puede escribir localmente como $\omega = \displaystyle\sum g_i \mathrm{d}x_i$ donde el $g_i$ son funciones suaves y la $\{\mathrm{d}x_i\}$ forme una base local para el paquete cotangente (= un coframe , si desea una buena explicación sobre esto, consulte la Prop. 11.18 de Intro to Smooth Manifolds, 2nd edition ).

Entonces, tu razonamiento aún se mantiene, excepto ahora en la expresión $\lambda \alpha^k + \displaystyle\sum_i \mu_i \omega^i$ , los coeficientes $\lambda$ y $\mu_i$ son funciones suaves definidas localmente alrededor de $p$ , en lugar de ser escalares. Entonces, dado que solo estás haciendo algunas operaciones básicas en estas sumas para expresar cada $\alpha$ en el $\{\omega\}$ base, todo se mantiene sin problemas :).

Gracias por esta respuesta. Si te entiendo bien me estas diciendo que debo usar el $(\omega^i)$ obtener una base local de $T^*M$ , entonces uno para $\Lambda^1(T^*M)$ y argumentar que una forma 1 suave tiene coordenadas suaves sin importar cuál sea la base local que usemos. ¿Es asi?
También podríamos tener un problema en caso $k < n$ . Creo que podemos eliminar este problema completando sin problemas $(\omega^i)$ .
Sí, bastante. Una vez que tenga una base (local) para $T*M$ (que generalmente tomamos como la base "estándar", es decir, la dual a la base local para $TM$ ), entonces una forma suave es una combinación lineal "suave" de esta base :)

Ted Shifrin · Answer 2

Este es un enfoque interesante que nunca antes había visto o pensado. Aquí hay un bosquejo del enfoque estándar, del cual la suavidad es un argumento estándar.

El lema es este: Localmente puedes extender $\omega^1,\dots,\omega^k$ a una base suave de $1$ -formas. (Por ejemplo, en coordenadas locales, alguna elección de conjunto complementario $dx^{j_1},\dots,dx^{j_{n-k}}$ lo haré.)

Ahora escribe $\alpha^i = \sum_{j=1}^n f^i_j\omega^j$ . La segunda condición te permite ver que $f^i_j = 0$ para $j>k$ . Ahora argumente directamente que en esta situación el $f^i_j$ deben ser funciones suaves. (Esto se reduce, nuevamente, en coordenadas locales, al hecho de que el inverso de una función matricial suave es suave y el producto de funciones suaves es suave).

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