Integración de derivados de Lie

Ahora estoy trabajando en dos ejercicios:

Ejercicio 1 Let$M^n$ser una variedad orientada sin límite, y$\alpha \in \Omega^{s}(M)$,$\beta \in \Omega^{n-s}(M)$ser formas diferenciales en$M$. Dejar$X \in \mathcal{X}(M)$ser un campo vectorial suave en$M$con soporte compacto. Muestra esa

$$\int_M \mathcal{L}_X(\alpha) \wedge \beta = - \int_M \alpha \wedge \mathcal{L}_X(\beta).$$

Ejercicio 2 Vamos$M^n$ser una variedad cerrada orientada (compacta sin límite), y$g$una métrica de Riemann en$M$. Si$X \in \mathcal{X}(M)$ser un campo vectorial suave en$M$y$f \in C^{\infty}(M)$ser una función suave en$M$. Muestra esa

$$\int_M X(f) \cdot \Omega = - \int_M f \cdot \mathcal{L}_X(\Omega).$$ dónde$\Omega$es la forma de volumen de$(M,g)$.

He estado probando los dos ejercicios y encontrando la misma dificultad.

Para 1 : Sabemos que$\mathcal{L}_X(\alpha) \wedge \beta + \alpha \wedge \mathcal{L}_X(\beta) = \mathcal{L}_X(\alpha \wedge \beta)$. Entonces, aplicando la integración en$M$en ambos lados, basta mostrar que la integración se desvanece:

$$\int_M \mathcal{L}_X(\alpha \wedge \beta) = 0.$$

Para 2 : Sabemos que$\mathcal{L}_X(f \cdot \Omega) = X(f) \cdot \Omega + f \cdot \mathcal{L}_X \Omega$.Entonces aplicando la integración en$M$en ambos lados, basta mostrar que la integración se desvanece:

$$\int_M \mathcal{L}_X(f \cdot \Omega) = 0.$$

Sin embargo, no sé cómo continuar para demostrar que las dos integraciones son cero. Parece que hay alguna maquinaria que no conozco o con la que no estoy familiarizado. Entonces mi pregunta es: ¿ Cómo probar que las dos integraciones anteriores son cero?

Mis intentos : he tratado de usar la identidad mágica de Cartan , a saber

$$\mathcal{L}_X = i_X \circ \mathrm{d} + \mathrm{d} \circ i_X,$$ dónde$i_X$es la multiplicación interior. En ambos casos, la variedad$M$no tiene límite, así que por la teorema de Stokes, la integración en el sumando$\mathrm{d} \circ i_X$es cero Así que queda por demostrar que la integración en el sumando$i_X \circ \mathrm{d}$es cero también. Me quedé atrapado aquí. :(

Gracias a todos por comentar y responder!