¿Se puede escribir todo campo covectorial como producto de una función y diferencial de otra función?

¿Está disponible para escribir cada campo de covector?

α = ∑ i = 1 norte α i d X i
en una variedad en la forma
α = F d gramo ,
dónde F y gramo son funciones suaves? O, ¿podemos hacer esto al menos localmente?

En el caso (más simple) donde α no se desvanece, esto es cierto si norte = 2 (porque los campos de línea son localmente integrables) y no si norte > 2 (una estructura de contacto en tres espacios no es localmente integrable; los retrocesos por proyección de coordenadas dan ejemplos de dimensiones superiores).

Respuestas (1)

Su pregunta es sobre si hay un factor de integración ( 1 / F en su notación). En el caso bidimensional, siempre hay un factor integrante (esto es esencialmente equivalente a la existencia de soluciones a la ecuación diferencial α = 0 . Pero ya en 3D estás en problemas. En ese caso, hay un factor de integración sólo si α ∧ d α = 0 . Entonces la respuesta a tu pregunta sería: sí en 2D, no en general si norte ≥ 3 .

¿Se puede escribir todo campo covectorial como producto de una función y diferencial de otra función?
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