Relación entre el covector (df)p(df)p(df)_p y el diferencial dfpdfpdf_p de fff en ppp

Dejar$M$ser una variedad suave y dejar$f\in C^\infty(M)$. el diferencial de$f$en$p\in M$es el mapa lineal$df_p:T_p M\to T_{f(p)}\mathbb{R}$definido por

$$df_p(v)(g)=v(g\circ f),$$ dónde$v$es una derivación en$T_p M$y$g\in C^\infty(\mathbb{R})$. Por otro lado, dado$f\in C^\infty(M)$, podemos obtener un campo de covector suave$df$en$M$definiendo $$(df)_p(v)=vf$$ para$p\in M$y$v\in T_p M$. Algunas personas afirman que$(df)_p$y$df_p$son en realidad la misma cosa, al identificar$T_{f(p)}\mathbb{R}$con$\mathbb{R}$. Pero me gustaría poner una duda al respecto. Dejar$g\in C^\infty(\mathbb{R})$. Si la afirmación es verdadera, deberíamos poder ver que $$D_{(df)_p(v)}\Big|_{f(p)}g:=\frac{d}{dt}\Big|_{t=0}g(f(p)+t(df)_p(v))=v(g\circ f),$$ en el que trato de pasar$\mathbb{R}\cong\mathbb{R}_{f(p)}\cong T_{f(p)}\mathbb{R}$. Pero terminé con $$\frac{d}{dt}\Big|_{t=0}g(f(p)+t(df)_p(v))=g'(f(p))(vf).$$ ¿Cuál parece ser el problema entre mis cálculos? Gracias.