Una triangulación de Δp×IΔp×I\Delta_p\times I

Cuando uno se pregunta acerca de estas cosas, probablemente sea una buena idea comenzar a aprender sobre complejos simpliciales abstractos y conjuntos simpliciales.

Un complejo simplicial abstracto es una colección de conjuntos$X_n$(los n-simples), indexados por los enteros no negativos, y mapas de límites$d_i: X_{n+1} \rightarrow X_n$si$0 \leq i \leq n+1$que satisfacen algunas relaciones derivadas del caso de los complejos simpliciales usuales.

Esta es una generalización obvia para hacer si uno se preocupa solo por los complejos simpliciales y los mapas simpliciales entre ellos. Uno puede usar el funtor de "realización geométrica" ​​y el "funtor de olvidar la topología" para ir y venir entre complejos simpliciales y complejos simpliciales abstractos. El "olvidar el funtor de topología" es sencillo, simplemente traduzca los mapas de límites y los n-simples en un complejo simplicial abstracto. El funtor de "realización geométrica" ​​solo toma un n-simple para cada objeto en$X_n$y pega los límites a los simples (n-1) creados previamente a través de la información de los mapas de límites.

Un mapa complejo simplicial abstracto es solo una colección de mapas$X_i \rightarrow Y_i$que respeten los mapas de límites. Si uno conoce un poco de teoría de categorías, esto parece estar listo para describir a través de diagramas de conmutación, y uno puede ver que esto es lo mismo que la colección de funtores.$\operatorname{Bad}\Delta ^{op} \rightarrow \operatorname{Set}$dónde$\operatorname{Bad}\Delta$tiene objetos los conjuntos$\{0,1,\dots,n\}=[n]$y flechas en estricto orden conservando los mapas entre ellos.

Sin hablar demasiado de teoría de categorías, la razón$\operatorname{Bad}\Delta$es malo en este contexto es que solo codifica información sobre cómo podemos incluir simples entre sí. También nos gustaría poder hablar sobre mapas simpliciales que colapsan n-simplicios en simples más pequeños. La forma de solucionar esto es definiendo$\Delta$tener los mismos objetos que$\operatorname{Bad}\Delta$, pero los mapas entre ellos son mapas que conservan cualquier orden. Entonces llamamos a la categoría de funtores$\operatorname{Set}^{\Delta^{op}}$la categoría$\operatorname{SSet}$. Cualquier objeto de esta categoría se llama conjunto simplicial. Al construir un conjunto simple, basta con proporcionar solo mapas$d_i :X_m \rightarrow X_{m-1}$y$s_i :X_m \rightarrow X_{m+1}$siempre que satisfagan algunas relaciones. Los primeros se denominan mapas de rostros y los segundos se denominan mapas de degeneración.

La definición es muy similar, pero ahora nuestros modelos para el n-simplex quizás no sean obvios (¡verifique que cualquier conjunto simplicial no vacío tiene simplicies en cada dimensión!) Sin embargo, dejemos que la intuición categórica nos guíe un poco y definamos "el " n-simplex de nuestra categoría para ser el funtor$\operatorname{Hom}(-,[n])$, si está familiarizado con el lema de Yoneda, podría ser bueno usarlo aquí para comprobar que es una buena definición.

Una última cosa sobre los conjuntos simples antes de que podamos abordar su problema. Llamamos degenerado a un n-simplex de un conjunto simplicial si está en la imagen de un mapa inducido por una flecha$\Delta ^{n+1} \rightarrow \Delta^{n}$(uno de los mapas de degeneración). Resulta que podemos hacer un funtor de realización geométrica similar que tome un conjunto simplicial y nos dé un espacio topológico a través del pegado, y que los simplices degenerados no afecten el espacio que obtenemos.

Aquí hay algunas cosas que son bastante fáciles de probar:

1. el producto en$\operatorname{SSet}$está dado por el producto de los conjuntos de simples con degeneración y mapas de límites dados por sus productos.

2. La realización geométrica conmuta con productos (al menos para conjuntos simpliciales con solo un número finito de simples no degenerados).

3. Nuestro modelo para un n-simple es equivalente al conjunto simplicial que tiene k-simples no degenerados los k-simples del n-simple habitual con mapas de caras (límites)$d_i$dada por olvidar la i-ésima coordenada y los mapas de degeneración$s_i$dada por la repetición de la i-ésima coordenada. Entonces, en general, son cadenas de números que aumentan débilmente en$[n]$.

4. La realización de nuestro modelo de un n-simple es un n-simple.

5. Si cada cara de un n-simple es única y no degenerada, y cada cara tiene la misma propiedad, entonces su parte correspondiente de la realización geométrica será topológicamente un n-simple. Si todo simplex no degenerado tiene esta propiedad y no hay dos que tengan más de una cara en común, hay una triangulación de la realización dada por el olvido de los simplex degenerados.

6. Si todo k-simplejo no degenerado está en la imagen del mapa de caras de un (k+1)-simplejo no degenerado para todos$k <n$, y no hay simples no degenerados de mayor dimensión que$n$, entonces la realización geométrica es una unión de los n-simples topológicos (que pueden tener algunos límites identificados) correspondientes a los n-simples no degenerados con intersecciones dadas por mapas de caras, de índice posiblemente diferente, que coinciden.

Demostremos que para$n=p+1$la hipótesis del enunciado 6 se cumple para$\Delta ^p \times \Delta^1$. Un k-simplex de esto parece$([v_0,\dots,v_k],[w_0,\dots, w_k])$donde el$v_i$están en$[p]$y aumentando débilmente y el$w_i$están en$[1]$y débilmente creciente. Nos gustaría clasificar cómo son todos los no degenerados. De nuestras consideraciones anteriores, esto es lo mismo que pedir que para todos$0 \leq i < k$no es el caso que$v_i = v_{i+1}$y$w_i=w_{i+1}$. Consideremos cuando esto no sucede. Si el$[v_0,\dots,v_k]$tiene dos índices$i,j$tal que$v_i = v_{i+1}$y$v_j = v_{j+1}$, entonces debe ser degenerado. Esto se debe a que todos los simples de$\Delta^1$parece$[0,0,\dots,0,1,1,\dots,1]$y si un par no degenerado$([v_0,\dots,v_k],[w_0,\dots, w_k])$tiene una repetición en los vértices del primer símplex en el índice$i$, esto debe venir precisamente en el índice donde el segundo simplex cambia de$0$a$1$porque de otra manera$([v_0,\dots, v_i,v_{i+2},\dots v_k],[w_0=0,\dots,w_i=0,w_{i+2}=1,\dots,w_k=0])$lo tendría como su i-ésima degeneración. Entonces, el primer símplex nunca puede tener múltiples repeticiones; puede tener exactamente una repetición si ocurre cuando el segundo símplex cambia de 0 a 1; y claramente si el primer símplex no tiene repeticiones no puede ser a imagen de un mapa de degeneración.

Todos estos últimos son la imagen de un símplex no degenerado bajo un mapa de caras porque podemos construir directamente un símplex no degenerado repitiendo un índice del primer símplex exactamente de donde proviene el intercambio.$0$a$1$ocurre en el segundo símplex. Se puede decir más, si los primeros no son la imagen de un simplex no degenerado bajo un mapa de caras, todos estos tienen$k=p+1$ya que de lo contrario podríamos insertar un nuevo vértice para construir un símplex del que es una cara. Si$k=p+1$esto no puede suceder ya que tendríamos que tener dos repeticiones en el primer símplex de cualquier cosa de la que sea una cara.

Entonces, por nuestro razonamiento anterior y los hechos fáciles de probar, tenemos que la realización de$\Delta^p \times \Delta ^1$es igual a$\Delta^p \times I$como un espacio topológico, y que es la unión de las realizaciones de los simples$([0,1,\dots,l,l,l+1,\dots,p],[0,\dots,0,1,\dots,1])$. Cada cara de uno solo de estos simples es claramente única y, según nuestras observaciones, no degenerada con todas las caras teniendo la misma propiedad con respecto a sus caras. Entonces, en la realización, el símplex correspondiente a cualquier símplex no degenerado es homeomórficamente un símplex. Los únicos simples no degenerados (p+1) que comparten caras son los de la forma$([0,1,\dots,l,l,l+1,\dots,p],[0,\dots,0,1,\dots,1])$y$([0,1,\dots,l+1,l+1,l+2,\dots,p],[0,\dots,0,1,\dots,1])$porque a través de la secuencia de 0 y 1 junto con el conocimiento de qué índices del primer simplex, si los hay, se repiten, a partir de cualquier p-simplex no degenerado podemos reconstruir el no degenerado (p+1)-simplex del que es una cara para ser uno de los anteriores. Además, si el p-simplex es una cara de estos dos (p+1)-simples, es la única cara de este tipo.

Espero que esto sea satisfactorio: hemos llegado a una descomposición de un espacio homeomorfo a$\Delta ^p \times I$en (p+1)-simples con la propiedad de que bajo el ordenamiento obvio las únicas intersecciones están dadas por simples adyacentes que se intersecan en un p-simplejo, y tiene una triangulación total dada por los simples no degenerados del conjunto simplicial.