Supongamos que algunos 2-variedades cerradas y conectadas , y supongamos que tengo una triangulación dónde es un complejo simplicial homeomorfo tal que para cada 2 celdas individuales puedo especificar un orden cíclico en los vértices para que 2 triángulos que comparten un borde no estén de acuerdo en el orden de sus 2 vértices compartidos, ilustrado.
¿Esto implica necesariamente que es topológicamente orientable, en el sentido de que para cada punto hay una orientación local, es decir, elección del generador tal que hay una bola abierta alrededor donde todos los puntos tener orientaciones locales esas son las imagenes de un generador de bajo los mapas naturales ?
Siento que me estoy perdiendo algo muy obvio. Entiendo la intuición geométrica de por qué una elección constante en sentido horario o antihorario induciría orientaciones opuestas en cada borde. También puedo ver cómo, para cualquier triángulo dado, una orden en sus vértices podría producir una elección de generador para cualquier punto en el interior del triángulo, pero no entiendo cómo probar la consistencia en toda la variedad. Específicamente, ¿cómo encuentro la orientación de los puntos que se encuentran en los bordes y vértices de la triangulación? ¿Y por qué esto no funciona si no hay una triangulación ordenada donde todos los bordes no están de acuerdo?
Hay una respuesta constructiva y otra no constructiva:
La respuesta constructiva es que una orientación local en el caso de 2 dimensiones es lo mismo que seleccionar coherentemente bucles orientados alrededor de cada punto. Si tomo un punto interior de un símplex, simplemente uso el símplex mismo con la orientación determinada por el ordenamiento.
Ahora, si elegimos un punto interior de un borde, podemos construir un bucle de la siguiente manera, compuesto por 4 segmentos. El primer segmento es una perturbación del borde hacia el interior del primer símplex. El segundo segmento es la perturbación del borde hacia el interior del segundo símplex. Los segmentos tercero y cuarto son bordes diminutos que conectan los puntos finales de los primeros 2 segmentos. Esta construcción tiene un ordenamiento dado mediante el uso del ordenamiento inducido del OTRO símplex distinto al que fue perturbado y que se extiende a los bordes cortos. El hecho de que esta sea una orientación del bucle proviene del hecho de que los bordes tienen orientaciones inducidas opuestas. Ahora, si desea mostrar los axiomas para una orientación, solo debe mostrar que si, en cambio, hubiera elegido la orientación dada al agrandar ligeramente el primer símplex, obtienes un ciclo homotópico y de manera similar para el segundo. El punto es que este bucle intermedio es un intermedio entre las orientaciones determinadas por la ampliación de cualquiera de los dos simples, por lo que es más fácil ver que todas estas opciones son homotópicas.
En este punto, solo tenemos que extendernos a los vértices en los que puedes pensar.
La respuesta no constructiva es que elegir un orden cíclico con sus propiedades especifica un ciclo distinto de cero en . Es decir, tome la suma de todos los simples correspondientes a su triangulación. El hecho de que las orientaciones no estén de acuerdo cada vez que se comparte un borde implica que cuando aplico el mapa de límites, cada 1 simplex ocurrirá dos veces con signos opuestos, lo que significa que el límite es . Como no hay 3-simples, esto implica que el top La homología no es trivial, lo que se sabe que no sucede con las variedades no orientables mediante la aplicación cuidadosa de los coeficientes universales y la dualidad de Poincaré.
