Cono sobre un espacio topológico: construirlo.

Tengo un par de preguntas que involucran conos sobre espacios topológicos y sus homeomorfismos con el disco cerrado D 2 .

En primer lugar, construyamos un cono sobre un espacio topológico. Por ejemplo, consideremos el círculo unitario S 1 en R 2 . Como lo entendí, primero comenzamos con un cilindro.

S 1 × [ 0 , 1 ] .

Ahora, tenemos que colapsar un "extremo" del cilindro en un punto. Este punto será la identidad del espacio. R 2 . Así que consideremos

  ( S 1 × [ 0 , 1 ] )   /   ( S 1 × { 1 } ) .

Tenemos un cono con la "base" en el suelo y el punto colapsado en la parte superior del cono.

Si consideramos

  ( S 1 × [ 0 , 1 ] )   /   ( S 1 × { 0 } ) ,

este cono tendrá el punto colapsado en la parte inferior (por lo que será un cono "invertido").

Pregunta número uno: ¿Lo entendí bien? Esta es la forma correcta de construir un cono sobre un espacio topológico X , en este caso S 1 ?

Pregunta número dos: Colapsamos uno de los "extremos" del cilindro. ¿Los otros puntos se deforman continuamente? Quiero decir, ¿tengo que entender esta figura como si los puntos estuvieran conectados entre sí y cada punto de la figura sufriera esta deformación?

Ahora tenemos un cono. Consideremos el invertido,

  ( S 1 × [ 0 , 1 ] )   /   ( S 1 × { 0 } ) .

Pregunta tres: Para construir un homeomorfismo desde el cono hasta D 2 = { X 1 , X 2 ∈ R 2 ∣ X 1 2 + X 2 2 ≤ 1 } , es la función F ( t , θ ) = t ⋅ mi i θ ¿una buena eleccion?

¡Gracias por tu tiempo!

Respuestas (1)

Pregunta 1: Sí. Tienes razón.

P2: Hmm... No tienes que pensarlo de esa manera. Está confiando demasiado en la visualización, lo que, según mi experiencia, puede generar dificultades más adelante. Para comprender estas construcciones y conceptos, es mejor tener formas alternativas de pensar sobre ellos.

Por ejemplo, puede decir que un cono es solo el cilindro, pero para tener una función continua desde el cono hasta algún lugar, los valores deben coincidir a lo largo del anillo superior; es decir F ( X , 1 ) = F ( y , 1 ) para todos X , y en tu espacio Continuidad de F obligará a los valores cercanos a estar también cerca uno del otro.

Puede ser que en algunas situaciones requieras que hasta la mitad de la altura tu cilindro esté intacto, y solo después de eso permitas que las puntas "sufran la deformación". Hablando solo de un espacio topológico, no tiene que imponer ningún criterio de suavidad, y hasta la equivalencia de homotopía, o incluso el homeomorfismo, un cono puede estar incrustado en muchas formas extrañas (el hemisferio superior puede verse como el cono sobre el círculo. )

Q3. Por favor, especifique en qué dirección su F ¿está tomando? Para verificar su continuidad verifique los criterios que mencioné anteriormente. Intuitivamente, empujaría la punta con la palma de la mano para aplanar el cono en el disco, así que envíe la punta, todo el anillo colapsado, al centro del disco. Anillo de nivel zeor, la parte inferior, enviado al círculo más exterior del disco.

Editado! Quiero establecer un homeomorfismo entre un cono y D 2 .
Sí, eso funcionará, una vez que agregue 2 π detrás θ . Es fácil de verificar: F es uno a uno y continuo. Como el dominio es compacto, la inversa es continua automáticamente. De este modo, F es un homeomorfismo.
Cono sobre un espacio topológico: construirlo.
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