recuperando la información de los vértices de un simplex

Más complicado de lo que esperaba. Suponer que$\{v_0,\dots,v_k\}$no es igual$\{w_0,\dots,w_k\}$. Entonces sin pérdida de generalidad podemos suponer$v_0 = \Sigma r_i w_i$donde múltiples$r_i$son distintos de cero. Nuevamente, sin pérdida de generalidad, suponga que estos son$r_0,r_1$. Entonces hay una función$(-\epsilon, \epsilon) \rightarrow \sigma$definido por$t \rightarrow (r_0 +t)w_0 + (r_1-t)w_1 + r_2 w_2 +\dots + r_k w_k$. Tal función no puede existir porque en$t=0$esto pasa$v_0$, y ningún segmento de línea pasa por$v_0$que también está contenido en$\sigma$porque tal cosa necesariamente contendría puntos que cuando se escriben como una suma de los$v_i$tendría coeficientes negativos.

Como JHF había señalado en el comentario, los vértices de un símplex dado pueden caracterizarse como los puntos extremos del símplex. (Si$S$es un conjunto convexo, un punto$x$en$S$se llama su punto extremo si para cada$y$en$S\setminus \{x\}$, cualquier segmento de línea abierta que contenga$x$y$y$siempre contiene un punto que no está en$S$.) Esto se puede verificar directamente usando las coordenadas baricéntricas.

Aunque la idea subyacente es la misma que la de la respuesta de Connor Malin, y a pesar de que esta respuesta no es mi idea, publicaré esto porque siento que esta es la forma más "natural" de abordar el problema. ¡Muchas gracias a Connor Malin y JHF!