Una suma binomial interesante

Question

Una suma binomial interesante

suma
integración
Matemáticas
secuencias y series
coeficientes binomiales

Z Ahmed

Recientemente, un estudiante preguntó esta suma

S = \sum_{k = 0}^{norte} \frac{(\binom{norte}{k})}{(\binom{metro + norte - 1}{k})}

$S= \sum_{k=0}^n \frac{{n \choose k}}{ {m + n-1 \choose k}}$ sin poner ningún esfuerzo. Curiosamente, la apertura del coeficiente binomial no parece ayudar, pero es factible.

Usar

{(\binom{norte}{k})}^{- 1} = (norte + 1) \int_{0}^{1} X^{k} (1 - X)^{norte - k} d X .

${N\choose k}^{-1}=(N+1)\int_{0}^{1} x^k(1-x)^{N-k}\, dx.$ Entonces

S = \sum_{k = 0}^{norte} \frac{(\binom{norte}{k})}{(\binom{metro + norte - 1}{k})} = (metro + norte) \sum_{k = 0}^{norte} \int_{0}^{1} (\binom{norte}{k}) X^{k} (1 - X)^{metro + norte - 1} d X

$S= \sum_{k=0}^n \frac{{n \choose k}}{ {m + n-1 \choose k}}= (m+n) \sum_{k=0}^{n}\int_{0}^{1} {n \choose k} x^k (1-x)^{m+n-1}\, dx$

⟹ S = (metro + norte) \int_{0}^{1} d X (1 - X)^{metro + norte - 1} \sum_{k = 0}^{norte} (\binom{norte}{k}) {(\frac{X}{1 - X})}^{k}

$\implies S=(m+n)\int_{0}^{1}\, dx~ (1-x)^{m+n-1}\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}\left(\frac{x}{1-x}\right)^k$

⟹ S = (metro + norte) \int_{0}^{1} (1 - X)^{metro - 1} d X = \frac{metro + norte}{metro} .

$\implies S=(m+n)\int_{0}^{1}(1-x)^{m-1}dx=\frac{m+n}{m}.$

La pregunta es: ¿Cómo hacerlo de otra manera?

aaron hendrickson

¿ Quizás usar esto junto con fórmulas de reducción hipergeométrica?

robarjohn

Esto parece que podría ser un duplicado de Probar que

\sum_{k = 0}^{m} \frac{(\binom{m}{k})}{(\binom{n}{k})} = \frac{n + 1}{n + 1 - m}

$\sum_{k=0}^{m}\frac{\binom{m}{k}}{\binom{n}{k}}=\frac{n+1}{n+1-m}$ .

Respuestas (1)

Una suma binomial interesante

¿ Quizás usar esto junto con fórmulas de reducción hipergeométrica?
Esto parece que podría ser un duplicado de Probar que $\sum_{k=0}^{m}\frac{\binom{m}{k}}{\binom{n}{k}}=\frac{n+1}{n+1-m}$ .

Asher2211 · Answer 1

La apertura del coeficiente binomial sí funciona.

\sum_{k = 0}^{norte} \frac{(\binom{norte}{k})}{(\binom{metro + norte - 1}{k})} = \frac{norte!}{(metro + norte - 1)!} \sum_{k = 0}^{norte} \frac{(metro + norte - k - 1)!}{(norte - k)!} = \frac{norte! (metro - 1)!}{(metro + norte - 1)!} \sum_{k = 0}^{norte} \frac{(metro + norte - k - 1)!}{(norte - k)! (metro - 1)!} = \frac{norte! (metro - 1)!}{(metro + norte - 1)!} \sum_{k = 0}^{norte} (\binom{metro + norte - k - 1}{metro - 1}) = \frac{norte! (metro - 1)!}{(metro + norte - 1)!} \sum_{k = 0}^{norte} (\binom{metro + k - 1}{metro - 1})

$\sum_{k=0}^n \frac{{n \choose k}}{ {m + n-1 \choose k}}\\=\frac{n!}{(m+n-1)!}\sum_{k=0}^n \frac{(m+n-k-1)!}{(n-k)!}\\=\frac{n!(m-1)!}{(m+n-1)!}\sum_{k=0}^n \frac{(m+n-k-1)!}{(n-k)!(m-1)!}\\=\frac{n!(m-1)!}{(m+n-1)!}\sum_{k=0}^n {m+n-k-1 \choose m-1}\\=\frac{n!(m-1)!}{(m+n-1)!}\sum_{k=0}^n {m+k-1 \choose m-1}$
Lo sabemos,

\sum_{k = 0}^{norte} (\binom{metro + k - 1}{metro - 1}) = (\binom{metro - 1}{metro - 1}) + (\binom{metro}{metro - 1}) + \dots + (\binom{metro + norte - 1}{metro - 1}) = (\binom{metro + norte}{metro})

$\sum_{k=0}^n {m+k-1 \choose m-1}={m-1 \choose m-1}+{m \choose m-1}+\cdots +{m+n-1 \choose m-1}={m+n \choose m}$ Por lo tanto,

\sum_{k = 0}^{norte} \frac{(\binom{norte}{k})}{(\binom{metro + norte - 1}{k})} = \frac{norte! (metro - 1)!}{(metro + norte - 1)!} \cdot (\binom{metro + norte}{metro}) = \frac{metro + norte}{metro}

$\sum_{k=0}^n \frac{{n \choose k}}{ {m + n-1 \choose k}}=\frac{n!(m-1)!}{(m+n-1)!}\cdot{m+n \choose m}=\frac{m+n}m$

Gran respuesta, en el cuarto paso invocando $k \to n-k$ hubiera sido un poco mejor.

Una suma binomial interesante

Z Ahmed

aaron hendrickson

robarjohn

Respuestas (1)

Asher2211

Z Ahmed

Evaluando ∑∞y=a(ya)⋅py−a∑y=a∞(ya)⋅py−a\sum_{y=a}^{\infty}{y \choose a} \cdot p^{ya} para p∈[0,1]p∈[0,1]p \en [0,1]

¿Por qué la desigualdad es ∑∞n=11n2≤1+∫∞11x2∑n=1∞1n2≤1+∫1∞1x2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \leq 1 + \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} verdadero?

Una suma binomial: ∑nk=0(nk)2k+1∑k=0n(nk)2k+1\sum_{k=0}^{n} \frac{{n \choose k}^2}{k+ 1}

Encontrar ∑nk=0(−1)kk(nk)∑k=0n(−1)kk(nk)\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{k}{n \ elige k}, cuando nnn es un entero positivo

Evaluar una suma con coeficientes binomiales: ∑nk=0(−1)kk(nk)2∑k=0n(−1)kk(nk)2\sum_{k=0}^{n} (-1)^kk \binom{n}{k}^2

Calcular ∑∞i=0i(i+10i)(12)i∑i=0∞i(i+10i)(12)i\sum_{i=0}^\infty i\binom{i+10}{i }(\frac{1}{2})^i

Alternancia de suma binomial central desplazada con pesos de Cauchy

Evalúa limn→∞(∑nr=02r52r+1)limn→∞(∑r=0n2r52r+1)\lim_{n\to \infty} \left( \sum_{r=0}^n \frac {2^r {5^{2^r}+1}\derecha)

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