Evalúa limn→∞(∑nr=02r52r+1)limn→∞(∑r=0n2r52r+1)\lim_{n\to \infty} \left( \sum_{r=0}^n \frac {2^r {5^{2^r}+1}\derecha)

Question

Evalúa limn→∞(∑nr=02r52r+1)limn→∞(∑r=0n2r52r+1)\lim_{n\to \infty} \left( \sum_{r=0}^n \frac {2^r {5^{2^r}+1}\derecha)

limites
cálculo
suma
integración
Matemáticas
secuencias y series

Rohan Shinde

Evaluar
$\underset{norte \to \infty}{límite} (\sum_{r = 0}^{norte} \frac{2^{r}}{5^{2^{r}} + 1})$ $\lim_{n\to \infty} \left( \sum_{r=0}^n \frac {2^r}{5^{2^r}+1}\right)$

Traté de crear algún GP infinito dentro de la sumatoria, algunas manipulaciones algebraicas como agregar el primer y último término de la sumatoria para encontrar cualquier serie que saliera de ella y también traté de escribirla en forma exponencial como $5^{2^r}=e^{2^r\ln 5}$ y también traté de hacer algo de serie de potencia. También traté de encontrar algún método usando integrales y sumas de Riemann, pero no pude hacerlo.

Cualquier sugerencia sería muy apreciada.

davidlowryduda

¿Por qué crees que esta serie debería tener una buena evaluación? Una evaluación extremadamente precisa vendrá solo de los primeros términos, ya que esta serie converge muy, muy rápidamente.

Pierpaolo Vivo

Euler-Maclaurin puede ser el camino

Rohan Shinde

@PierpaoloVivo No veo cómo se relaciona esta pregunta

Félix Marín

Numéricamente, "parece ir" a

\frac{1}{4}

$\displaystyle\color{red}{1 \over 4}$ .

Rohan Shinde

@FelixMarin Sí, me enteré de eso por Wolfy, pero quiero una pista algebraica o algún método amable para hacerlo a mano por los medios adecuados.

Rohan Shinde

@Felix Marin Quiero un método que se pueda hacer a mano con los métodos adecuados

Félix Marín

Yo sé eso. Sin embargo, una 'comprobación numérica' siempre es útil. Especialmente cuando el problema en cuestión no es trivial.

Rohan Shinde

@FelixMarin Por cierto, ¿tienes alguna idea de cómo responder a esta pregunta? Ahora he intentado casi 3 horas para esta pregunta sin éxito.

Respuestas (2)

Evalúa limn→∞(∑nr=02r52r+1)limn→∞(∑r=0n2r52r+1)\lim_{n\to \infty} \left( \sum_{r=0}^n \frac {2^r {5^{2^r}+1}\derecha)

¿Por qué crees que esta serie debería tener una buena evaluación? Una evaluación extremadamente precisa vendrá solo de los primeros términos, ya que esta serie converge muy, muy rápidamente.
Numéricamente, "parece ir" a $\displaystyle\color{red}{1 \over 4}$ .
@FelixMarin Sí, me enteré de eso por Wolfy, pero quiero una pista algebraica o algún método amable para hacerlo a mano por los medios adecuados.
@Felix Marin Quiero un método que se pueda hacer a mano con los métodos adecuados
Yo sé eso. Sin embargo, una 'comprobación numérica' siempre es útil. Especialmente cuando el problema en cuestión no es trivial.
@FelixMarin Por cierto, ¿tienes alguna idea de cómo responder a esta pregunta? Ahora he intentado casi 3 horas para esta pregunta sin éxito.

Rohan Shinde · Answer 1

\underset{norte \to \infty}{límite} (\sum_{r = 0}^{norte} \frac{2^{r}}{5^{2^{r}} + 1})

$\lim_{n\to \infty} \left( \sum_{r=0}^n \frac {2^r}{5^{2^r}+1}\right)$

= \underset{norte \to \infty}{límite} \sum_{r = 0}^{norte} (\frac{2^{r}}{5^{2^{r}} + 1} \cdot \frac{5^{2^{r}} - 1}{5^{2^{r}} - 1})

$=\lim_{n\to \infty} \sum_{r=0}^n\left( \frac {2^r}{5^{2^r}+1}\cdot \frac {5^{2^r}-1}{5^{2^r}-1}\right)$

= \underset{norte \to \infty}{límite} \sum_{r = 0}^{norte} (\frac{2^{r} ((5^{2^{r}} + 1) - 2)}{5^{2^{r + 1}} - 1})

$=\lim_{n\to \infty} \sum_{r=0}^n \left(\frac {2^r((5^{2^r}+1)-2)}{5^{2^{r+1}}-1}\right)$

= \underset{norte \to \infty}{límite} \sum_{r = 0}^{norte} (\frac{2^{r}}{5^{2^{r}} - 1} - \frac{2^{r + 1}}{5^{2^{r + 1}} - 1})

$=\lim_{n\to \infty} \sum_{r=0}^n \left( \frac {2^r}{5^{2^r}-1} -\frac {2^{r+1}}{5^{2^{r+1}}-1}\right)$

= \frac{1}{5 - 1} = \frac{1}{4}

$=\frac {1}{5-1}=\frac 14$

Nota: De hecho, usando este método se puede probar que para cualquier número natural $a$ (excepto por supuesto $a=1$ )

\underset{norte \to \infty}{límite} (\sum_{r = 0}^{norte} \frac{2^{r}}{a^{2^{r}} + 1}) = \frac{1}{a - 1}

$\lim_{n\to \infty} \left(\sum_{r=0}^n \frac {2^r}{a^{2^r}+1}\right) =\frac {1}{a-1}$

Paramanand Singh · Answer 2

La clave es entender que si $|x|<1$ entonces

(1 + X) (1 + X^{2}) (1 + X^{4}) \dots (1 + X^{2^{norte}}) \dots = \frac{1}{1 - X}

$(1+x)(1+x^2)(1+x^4)\dots(1+x^{2^n})\dots=\frac{1}{1-x}$ Ahora tomando registros y diferenciándolos obtenemos

\sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{2^{norte} X^{2^{norte} - 1}}{1 + X^{2^{norte}}} = \frac{1}{1 - X}

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^nx^{2^n-1}}{1+x^{2^n}}=\frac{1}{1-x}$ Poniendo

x = 1 / t, | t | > 1

$x=1/t,|t|>1$ obtenemos

\sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{2^{norte}}{1 + t^{2^{norte}}} = \frac{1}{t - 1}

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{1+t^{2^n}}=\frac{1}{t-1}$ Poniendo

t = 5

$t=5$ obtenemos el límite deseado en cuestión.

Evalúa limn→∞(∑nr=02r52r+1)limn→∞(∑r=0n2r52r+1)\lim_{n\to \infty} \left( \sum_{r=0}^n \frac {2^r {5^{2^r}+1}\derecha)

Rohan Shinde

davidlowryduda

Pierpaolo Vivo

Rohan Shinde

Félix Marín

Rohan Shinde

Rohan Shinde

Félix Marín

Rohan Shinde

Respuestas (2)

Rohan Shinde

Félix Marín

Rohan Shinde

pablo

kirk zorro

Rohan Shinde

Rohan Shinde

Paramanand Singh

Demuestra que la sucesión está acotada por debajo por 2–√2{\sqrt 2}

Demostrar que una sucesión convergente tiene un mínimo, un máximo o ambos.

Convergencia de una serie infinita particular

Cuando lim|ak+1/ak|=1lim|ak+1/ak|=1\lim\left| a_{k+1}/a_k \right| =1 en la prueba de razón límite, ¿se sigue que la serie diverge?

Límite de an=13n+14n−−−−−−√nan=13n+14nna_n = \sqrt[n]{\frac{1}{3^n}+\frac{1}{4^n}}

Prueba de convergencia/divergencia de ∑∞n=1(−1)nsin(nπ)∑n=1∞(−1)nsin⁡(nπ)\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^ n\sen\left(\frac{n}{\pi}\right)

¿Límite de secuencia, teorema de compresión?

¿Por qué la desigualdad es ∑∞n=11n2≤1+∫∞11x2∑n=1∞1n2≤1+∫1∞1x2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \leq 1 + \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} verdadero?

inf(A+B)=infA+infBinf(A+B)=infA+infB\inf{(A+B)}=\inf{A}+\inf{B}: Una prueba de ϵϵ\epsilon

Estoy buscando la secuencia {nn+1sinnπ2}{nn+1sin⁡nπ2}\Big\{ \frac{n}{n+1}\sin{\frac{n\pi}{2}} \Big\ } converge o diverge.