Esto también se puede hacer utilizando una técnica básica de variables complejas. Comience como en la respuesta de @ robjohn. Supongamos que buscamos evaluar
∑k = 0norte( -1 _)kk(nortek)2=∑k = 1norte(nortek) (−1)kk (nortek)=∑k = 1norte(nortek) (−1)kknortek(norte - 1k − 1) =norte∑k = 1norte(nortek) (−1)k(norte - 1k − 1) .
Introducir la representación integral
(norte - 1k − 1) =12 pii∫| z| =ϵ1zk( 1 + z)norte - 1dz.
Esto da la siguiente integral para la suma
norte2 pii∫| z| =ϵ∑k = 1norte(nortek) (−1)k1zk( 1 + z)norte - 1dz=norte2 pii∫| z| =ϵ( 1 + z)norte - 1∑k = 1norte(nortek) (−1)k1zkdz=norte2 pii∫| z| =ϵ( 1 + z)norte - 1( -1 + _( 1 -1z)norte)dz
Podemos dejar caer el− 1
porque participa de un producto que es entero. esto deja
norte2 pii∫| z| =ϵ( 1 + z)norte - 1( z− 1)norteznortedz=( -1 _)nortenorte2 pii∫| z| =ϵ( 1 - z) ( 1 + z)norte - 1( 1 - z)norte - 1znortedz=( -1 _)nortenorte2 pii∫| z| =ϵ( 1 - z)( 1 -z2)norte - 1znortedz.
De ello se deduce que el valor de la suma viene dado por
( -1 _)nortenorte [znorte - 1] ( 1 - z) ( 1 −z2)norte - 1.
Paranorte
incluso elz
de1 - z
participa y pornorte
raro el que participa.
tenemos paranorte
incluso el resultado
( -1 _)nortenorte × ( - 1 ) ( - 1)( norte - 2 ) / 2(norte - 1( norte - 2 ) / 2) =norte×(-1)n / 2(norte - 1n / 2 - 1)= norte × ( - 1)n / 2(norte - 1n / 2)
y para
norte
extraño
( -1 _)norten × ( - 1)( norte - 1 ) / 2(norte - 1( norte - 1 ) / 2) =norte×(-1)( n + 1 ) / 2(norte - 1( norte - 1 ) / 2) .
Uniendo estos dos términos obtenemos
n × ( - 1)⌈ norte / 2 ⌉(norte - 1⌊ n / 2 ⌋) .
Un rastro de cuándo apareció este método en MSE y por quién comienza en este enlace de MSE .
jonas meyer
por favor bórrame
jonas meyer
jonas meyer
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Milind Hegde
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