Alternancia de suma binomial central desplazada con pesos de Cauchy

Question

Alternancia de suma binomial central desplazada con pesos de Cauchy

suma
asintóticos
Matemáticas
secuencias y series
coeficientes binomiales

usuario196574

Mi pregunta es ¿cómo se puede demostrar que

\underset{norte \to \infty}{límite} \frac{1}{(\binom{2 norte}{norte})} \sum_{k = 1}^{norte} (- 1)^{k} (\binom{2 norte}{norte + k}) \frac{X^{2}}{X^{2} + π^{2} k^{2}} = \frac{1}{2} (\frac{X}{pecado (X)} - 1)

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\binom{2n}{n}}\sum_{k=1}^n (-1)^k \binom{2n}{n+k}\frac{x^2}{x^2+\pi^2k^2} = \frac{1}{2}\Big(\frac{x}{\sinh(x)}-1\Big)$

Encuentro agradable la identidad propuesta porque parece que podemos ver la presencia de la fracción en $x$ en el lado izquierdo, para grandes $x$ , como una perturbación de la suma de libros de texto de coeficientes binomiales alternos con un pequeño reordenamiento.

En general, también estoy interesado en las técnicas para manejar sumas alternas de sumas binomiales centrales desplazadas con diferentes pesos, lo que provocó mi pregunta en MSE 2824529.

Skbmoore publicó una prueba de una identidad ordenada y útil en 2827591 (y Tired comentó una prueba ingeniosa) que

\sum_{k = 1}^{norte} (- 1)^{k + 1} (\binom{2 norte}{norte + k}) k^{s} = (\binom{2 norte}{norte}) pecado (π s / 2) \int_{0}^{\infty} \frac{d X X^{s}}{pecado π X} \frac{norte!^{2}}{(norte + i X)! (norte - i X)!} .

$\,\,\,\,\,\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \binom{2n}{n+k} k^s = \binom{2n}{n} \sin(\pi s/2) \int_0^\infty \frac{dx \, \,x^s}{\sinh{\pi x}} \frac{n!^2}{(n+ix)!(n-ix)!}.$

Es probable que una modificación adecuada de esa fórmula nos proporcione las asintóticas anteriores, pero no soy lo suficientemente inteligente modificando el integrando para obtener algo agradable en el límite de $s$ a cero.

james arathoon

Esta pregunta relaciona la

\sinh

$\sinh$ fórmula del producto

pecado (X) = X \prod_{k = 1}^{\infty} (\frac{X^{2}}{π^{2} k^{2}} + 1)

$\sinh (x)=x \prod _{k=1}^{\infty } \left(\frac{x^2}{\pi ^2 k^2}+1\right)$ a la suma infinita equivalente. Llego tan lejos como para intentar probar

\frac{1}{2} (\frac{1}{\prod_{k = 1}^{norte} (\frac{X^{2}}{π^{2} k^{2}} + 1)} - 1) = \sum_{k = 1}^{norte} \frac{(- 1)^{k} X^{2} (\prod_{i = 1}^{k} (- i + norte + 1))}{(π^{2} k^{2} + X^{2}) (\prod_{i = 1}^{k} (i + norte))}

$\frac{1}{2} \left(\frac{1}{\prod _{k=1}^n \left(\frac{x^2}{\pi ^2 k^2}+1\right)}-1\right)=\sum _{k=1}^n \frac{(-1)^k x^2 \left(\prod _{i=1}^k (-i+n+1)\right)}{\left(\pi ^2 k^2+x^2\right) \left(\prod _{i=1}^k (i+n)\right)}$

Respuestas (1)

Alternancia de suma binomial central desplazada con pesos de Cauchy

Esta pregunta relaciona la $\sinh$ fórmula del producto $pecado (X) = X \prod_{k = 1}^{\infty} (\frac{X^{2}}{π^{2} k^{2}} + 1)$ $\sinh (x)=x \prod _{k=1}^{\infty } \left(\frac{x^2}{\pi ^2 k^2}+1\right)$ a la suma infinita equivalente. Llego tan lejos como para intentar probar $\frac{1}{2} (\frac{1}{\prod_{k = 1}^{norte} (\frac{X^{2}}{π^{2} k^{2}} + 1)} - 1) = \sum_{k = 1}^{norte} \frac{(- 1)^{k} X^{2} (\prod_{i = 1}^{k} (- i + norte + 1))}{(π^{2} k^{2} + X^{2}) (\prod_{i = 1}^{k} (i + norte))}$ $\frac{1}{2} \left(\frac{1}{\prod _{k=1}^n \left(\frac{x^2}{\pi ^2 k^2}+1\right)}-1\right)=\sum _{k=1}^n \frac{(-1)^k x^2 \left(\prod _{i=1}^k (-i+n+1)\right)}{\left(\pi ^2 k^2+x^2\right) \left(\prod _{i=1}^k (i+n)\right)}$

roboflop · Answer 1

Aquí hay un enfoque:

Consideramos la siguiente suma en el límite $n\rightarrow\infty$ (que denotamos por $S$ ) :

$S_{norte} = \frac{1}{(\binom{2 norte}{norte})} \sum_{k = 0}^{norte} (- 1)^{k} (\binom{2 norte}{norte + k}) \frac{1}{X^{2} + π^{2} k^{2}}$ $S_n=\frac{1}{\binom{2n}{n}}\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{2n}{n+k}\frac{1}{x^2+\pi^2 k^2}$

Dividimos el rango de suma en algunos $\delta$ tal que $1<<\delta<<n$ Llegar $S_n=S_{2,n}+S_{1,n}$ y observa que $k<<n$ en $[0,\delta]$ por lo que podemos expandir el binomio alrededor de pequeños $k/n$ Lo que significa que

S_{1, norte} = \sum_{k = 0}^{d} (- 1)^{k} (1 + O (k^{2} / {norte}^{3})) \frac{1}{X^{2} + π^{2} k^{2}}

$S_{1,n}=\sum_{k=0}^{\delta}(-1)^k\left(1+O(k^2/n^3)\right)\frac{1}{x^2+\pi^2 k^2}$ desde

| \sum_{k = 0}^{δ} (- 1)^{k} \frac{k^{2}}{x^{2} + π^{2} k^{2}} | < \sum_{k = 0}^{δ} \frac{k^{2}}{x^{2} + π^{2} k^{2}} < \sum_{k = 0}^{δ} 1 = δ

$|\sum_{k=0}^{\delta}(-1)^k\frac{k^2}{x^2+\pi^2 k^2}|<\sum_{k=0}^{\delta}\frac{k^2}{x^2+\pi^2 k^2}<\sum_{k=0}^{\delta}1=\delta$ podemos atar el

O (k^{2} / n^{3})

$O(k^2/n^3)$ término de la siguiente manera

S_{1, norte} = \sum_{k = 0}^{d} (- 1)^{k} \frac{1}{X^{2} + π^{2} k^{2}} + o (d / {norte}^{3})

$S_{1,n}=\sum_{k=0}^{\delta}(-1)^k\frac{1}{x^2+\pi^2 k^2}+o(\delta/n^3)$ Tomando límites obtenemos que

S_{1, n}

$S_{1,n}$ se aproxima a una constante determinada más tarde

$S_{1} = \sum_{k = 0}^{\infty} (- 1)^{k} \frac{1}{X^{2} + π^{2} k^{2}} (*)$ $S_1=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{1}{x^2+\pi^2 k^2}\,\,\,\, (*)$

A continuación mostramos que la suma de la cola $S_{2,n}$ tiende a cero, de modo que el límite en cuestión viene dado por $(*)$ . Para ello, observe que en $[\delta,n]$ tenemos $\pi k >> x$ por lo que podemos expandir la fracción alrededor de grandes $k$ . Encontramos

S_{2, norte} = \frac{1}{(\binom{2 norte}{norte})} \sum_{k = d}^{norte} (- 1)^{k} (\binom{2 norte}{norte + k}) (\frac{1}{π^{2} k^{2}} + O (1 / k^{4}))

$S_{2,n}=\frac{1}{\binom{2n}{n}}\sum_{k=\delta}^n(-1)^k\binom{2n}{n+k}\left(\frac{1}{\pi^2 k^2}+O(1/k^4)\right)$ ya que el coeficiente binomial tiene un máximo en

k = 0

$k=0$ podemos atar

\frac{(\binom{2 n}{n + k})}{(\binom{2 n}{n})} \leq 1

$\frac{\binom{2n}{n+k}}{\binom{2n}{n}}\leq1$ entonces

| S_{2, norte} | < \frac{1}{π^{2}} \sum_{k = d}^{norte} \frac{1}{k^{2}} \sim \frac{1}{π^{2}} \int_{d}^{norte} \frac{d k}{k^{2}} \sim \frac{1}{π^{2} d}

$|S_{2,n}|<\frac{1}{\pi^2}\sum_{k=\delta}^n\frac{1}{k^2}\sim \frac{1}{\pi^2} \int_{\delta}^n\frac{dk}{k^2}\sim \frac{1}{\pi^2\delta}$ entonces, eligiendo

δ

$\delta$ ser una secuencia creciente (bastante lenta) de

n

$n$ de hecho tenemos eso

$S_{2} = 0 (* *)$ $S_2=0\,\,\,\,(**)$

Tenga en cuenta que el $O(1/k^4)$ se están desvaneciendo aún más rápido y, por lo tanto, también pueden ser ignorados. poner cualquier cosa $(*)$ y $(**)$ juntos nos ponemos

$S = S_{1} = \frac{1}{2 X^{2}} + \frac{1}{2 pecado (X) X}$ $S=S_1=\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{2\sinh(x)x}$

donde la última igualdad sigue del teorema de Mittag-Lefflers (o la expansión del producto del seno)

Lindo :). ¿Podría comentar por qué Delta debería aumentar lentamente? ¿Despacio con respecto a qué?
@Thomas tal que $\delta(n)\rightarrow \infty$ así como $\delta(n)/n\rightarrow 0$ como $n \rightarrow \infty$ . Puedes tomar $\delta(n)=\sqrt{n}$ Por ejemplo..
@Thomas, este método se llama coincidencia asintótica en caso de que quiera profundizar más
¡Gracias por la respuesta! También miraré más en la coincidencia asintótica. Tengo curiosidad por saber si también funcionaría para MSE 2824529 o MSE 2825442. Esas preguntas ya están respondidas, pero aprecio nuevas técnicas.

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usuario196574

james arathoon

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roboflop

Tomás

roboflop

roboflop

usuario196574

Evaluando ∑∞y=a(ya)⋅py−a∑y=a∞(ya)⋅py−a\sum_{y=a}^{\infty}{y \choose a} \cdot p^{ya} para p∈[0,1]p∈[0,1]p \en [0,1]

Convergencia de la sucesión (an––n!zn)(an_n!zn)\big(\frac{a^{\underline{n}}}{n!} z^n \big)

Una suma binomial: ∑nk=0(nk)2k+1∑k=0n(nk)2k+1\sum_{k=0}^{n} \frac{{n \choose k}^2}{k+ 1}

Encontrar ∑nk=0(−1)kk(nk)∑k=0n(−1)kk(nk)\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{k}{n \ elige k}, cuando nnn es un entero positivo

Identidad que involucra doble suma con binomios

Evaluar una suma con coeficientes binomiales: ∑nk=0(−1)kk(nk)2∑k=0n(−1)kk(nk)2\sum_{k=0}^{n} (-1)^kk \binom{n}{k}^2

Calcular ∑∞i=0i(i+10i)(12)i∑i=0∞i(i+10i)(12)i\sum_{i=0}^\infty i\binom{i+10}{i }(\frac{1}{2})^i

Una suma binomial interesante

Demuestre esta identidad utilizando la identidad de producto triple de Jacobi

Sobre la regla generalizada de Leibniz