¿Por qué la desigualdad es ∑∞n=11n2≤1+∫∞11x2∑n=1∞1n2≤1+∫1∞1x2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \leq 1 + \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} verdadero?

Question

¿Por qué la desigualdad es ∑∞n=11n2≤1+∫∞11x2∑n=1∞1n2≤1+∫1∞1x2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \leq 1 + \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} verdadero?

suma
desigualdad
integración
Matemáticas
serie de poder
secuencias y series

james mitchell

\sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{1}{{norte}^{2}} \leq 1 + \int_{1}^{\infty} \frac{1}{X^{2}} d X

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \leq 1 + \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}dx$

Tengo problemas para averiguar por qué la desigualdad anterior es cierta. Entiendo la siguiente desigualdad:

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{X^{2}} d X \leq \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{1}{{norte}^{2}}

$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}dx \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$

Tiene sentido porque los rectángulos formados a partir del lado derecho de la desigualdad tienen partes que superan la función de la siguiente manera:

Así que digamos que reescribo $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ como $1 + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ ya que son equivalentes.

¿Por qué es menos que $1 + \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}dx$ ?

Si lo imagino en mi cabeza, suena como si estuviera diciendo que el primer término es más grande que todas las pequeñas piezas que se forman sobre la curva en la imagen de arriba.

Mis reclamos provienen específicamente de la página 60 de esta página web de Dartmouth.

angina de pecho

Dibuja rectángulos similares pero más cortos.

Respuestas (4)

¿Por qué la desigualdad es ∑∞n=11n2≤1+∫∞11x2∑n=1∞1n2≤1+∫1∞1x2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \leq 1 + \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} verdadero?

cubo de rubik09 · Answer 1

Las sumas del extremo derecho de la integral tienen la forma:

\sum_{norte = 2}^{\infty} \frac{1}{{norte}^{2}}

$\sum_{n = 2}^\infty \frac{1}{n^2}$ y sabemos:

\sum_{norte = 2}^{\infty} \frac{1}{{norte}^{2}} \leq \int_{1}^{\infty} \frac{1}{X^{2}} \leq \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{1}{{norte}^{2}}

$\sum_{n = 2}^\infty \frac{1}{n^2} \leq \int_1^\infty \frac{1}{x^2} \leq \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^2}$ Restando la RHS, tenemos:

- 1 \leq \int_{1}^{\infty} \frac{1}{X^{2}} - \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{1}{{norte}^{2}}

$-1 \leq \int_1^\infty \frac{1}{x^2} - \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^2}$ multiplicando por

- 1

$-1$ , tenemos:

1 \geq \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{1}{{norte}^{2}} - \int_{1}^{\infty} \frac{1}{X^{2}}

$1 \geq \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^2} -\int_1^\infty \frac{1}{x^2}$ como queríamos.

usuario · Answer 2

Una forma de ver eso a partir del gráfico es la siguiente

\sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{1}{{norte}^{2}} \leq 1 + \int_{2}^{\infty} \overset{gramo r a pag h F o r \frac{1}{X^{2}} s h i F t mi d b y 1}{\overset{⏞}{\frac{1}{(X - 1)^{2}}}} d X = 1 + \int_{1}^{\infty} \frac{1}{X^{2}} d X

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \leq 1 + \int_2^{\infty} \overbrace{\frac{1}{(x-1)^2}}^{graph\, for\, \frac1{x^2}\,shifted \, by\, 1}dx= 1 + \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}dx$

zhw. · Answer 3

Pista: Resta $1$ de ambos lados para ver que la desigualdad es la misma que

\sum_{norte = 2}^{\infty} \frac{1}{{norte}^{2}} \leq \int_{1}^{\infty} \frac{d X}{X^{2}} .

$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2} \le \int_1^\infty\frac{dx}{x^2}.$

Ahora haz tus comparaciones de rectángulos.

JG · Answer 4

De manera más general, supongamos $f$ es estrictamente decreciente en $x\ge 1$ , por lo que cualquier entero positivo $n$ satisface $f(n+1)\le\int_n^{n+1}f(x)dx\le f(n)$ . resumiendo, $\sum_{n\ge 2}f(n)\le\int_1^\infty f(x)dx\le\sum_{n\ge 1}f(n)$ . Equivalentemente, $\int_1^\infty f(x)dx\le\sum_{n\ge 1}f(n)\le f(1)+\int_1^\infty f(x)dx$ . Solo necesitas la elección $f(x)=x^{-2}$ . Otro corolario importante, llamado prueba integral, es que para tal $f$ las series $\sum_{n\ge 1}f(n)$ converge si y si $\int_1^\infty f(x)dx$ hace. En particular, la divergencia de la serie armónica es equivalente a $\int_1^\infty\frac{dx}{x}=\ln\infty=\infty$ .

¿Por qué la desigualdad es ∑∞n=11n2≤1+∫∞11x2∑n=1∞1n2≤1+∫1∞1x2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \leq 1 + \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} verdadero?

james mitchell

angina de pecho

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cubo de rubik09

usuario

zhw.

JG

Demostrar ∏nk=1(1+ak)≤1+2∑nk=1ak∏k=1n(1+ak)≤1+2∑k=1nak\prod_{k=1}^n(1+a_k)\ leq1+2\sum_{k=1}^n a_k

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