Encontrar ∑nk=0(−1)kk(nk)∑k=0n(−1)kk(nk)\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{k}{n \ elige k}, cuando nnn es un entero positivo

Question

Encontrar ∑nk=0(−1)kk(nk)∑k=0n(−1)kk(nk)\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{k}{n \ elige k}, cuando nnn es un entero positivo

suma
Matemáticas
teorema del binomio
secuencias y series
coeficientes binomiales

Z Ahmed

Anteriormente una pregunta en MSE:

Encontrar $\sum_{r=1}^{3n-1}{ (-1)^{r-1}r\over{3n \choose r}}$ , si $n$ incluso

destinado a pedir la suma

S_{norte} = \sum_{k = 0}^{norte} (- 1)^{k} \frac{k}{(\binom{norte}{k})} (1)

$S_n=\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{k}{{n \choose k}}~~~~~(1)$ cuando es

n

$n$ incluso. Debido a la limitación de un procedimiento, solo se puede probar para números enteros pares positivos.

n

$n$ . Aquí mostramos que la suma (1) se puede escribir en forma cerrada para valores pares e impares de

n

$n$ . Usemos la representación integral del recíproco del coeficiente binomial como

{(\binom{norte}{k})}^{- 1} = (norte + 1) \int_{0}^{1} X^{k} (1 - X)^{norte - k} d X

${n \choose k}^{-1} = (n+1) \int_{0}^{1}x^k (1-x)^{n-k} dx$ Además, usando

\sum_{k = 0}^{norte} k z^{k} = \frac{z}{(1 - z)^{2}} - \frac{z^{norte + 1}}{(1 - z)^{2}} - \frac{norte z^{norte + 1}}{1 - z}

$\sum_{k=0}^{n}k z^k=\frac{z}{(1-z)^2}-\frac{z^{n+1}}{(1-z)^2}-\frac{n z^{n+1}}{1-z}$ Entonces

S_{norte} = (norte + 1) \int_{0}^{1} \sum_{k = 0}^{norte} k {(\frac{X}{X - 1})}^{k} (1 - X)^{norte} d X = (norte + 1) \int_{0}^{1} [- X (1 - X)^{norte + 1} + (- 1)^{norte} X^{norte + 1} (1 - X) + (- 1)^{norte} norte X^{norte + 1}] d X .

$S_n=(n+1)\int_{0}^{1} \sum_{k=0}^{n} k \left(\frac{x}{x-1}\right)^k (1-x)^n dx= (n+1)\int_{0}^{1}[-x(1-x)^{n+1}+(-1)^n x^{n+1}(1-x)+(-1)^n n x^{n+1}]dx.$ Usar

\int_{0}^{a} f (x) d x = \int_{0}^{a} f (a - x) d x

$\int_{0}^{a} f(x) dx= \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ en la segunda integral

S_{norte} = (norte + 1) (\int_{0}^{1} - X^{norte + 1} (1 - X) d X + (- 1)^{norte} \int_{0}^{1} X^{norte + 1} (1 - X) d X + (- 1)^{norte} norte \int_{0}^{1} X^{norte + 1} d X) .

$S_n=(n+1) \left(\int_{0}^{1} -x^{n+1}(1-x) dx+(-1)^n\int_{0}^{1} x^{n+1}(1-x) dx+(-1)^n n \int_{0}^{1} x^{n+1} dx \right).$

⟹ S_{norte} = - (norte + 1) [1 + (- 1)^{norte + 1}] \int_{0}^{1} (X^{norte + 1} - X^{norte + 2}) d X + (- 1)^{norte} \frac{norte (norte + 1)}{norte + 2} .

$\implies S_n=-(n+1)[1+(-1)^{n+1}] \int_{0}^{1} (x^{n+1}-x^{n+2}) dx+(-1)^n\frac{n(n+1)}{n+2}.$

S_{norte} = - [1 + (- 1)^{norte + 1}] \frac{norte + 1}{(norte + 2) (norte + 3)} + (- 1)^{norte} \frac{norte (norte + 1)}{norte + 2} (2)

$S_n=-[1+(-1)^{n+1}]\frac{n+1}{(n+2)(n+3)}+ (-1)^n \frac{n(n+1)}{n+2}~~~~(2)$ La pregunta es: ¿cuáles son otros métodos para obtener este resultado (2).

Claudio Leibovici

pensé que

F (X) = \sum_{k = 0}^{norte} (- 1)^{k} \frac{k}{(\binom{norte}{k})} X^{k} = - \frac{X}{norte}_{2} F_{1} (2, 2; 1 - norte; X)

$f(x)=\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{k}{{n \choose k}}x^k=-\frac{x }{n}\, _2F_1(2,2;1-n;x)$ podria ayudar pero me equivoque!

Z Ahmed

(1 - n)

$(1-n)$ siendo el tercer parámetro de

_{2} F_{1}

$_2F_1$ , divergirá.

Claudio Leibovici

Por eso escribí que "me equivoqué" .

Respuestas (1)

Encontrar ∑nk=0(−1)kk(nk)∑k=0n(−1)kk(nk)\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{k}{n \ elige k}, cuando nnn es un entero positivo

pensé que $F (X) = \sum_{k = 0}^{norte} (- 1)^{k} \frac{k}{(\binom{norte}{k})} X^{k} = - \frac{X}{norte}_{2} F_{1} (2, 2; 1 - norte; X)$ $f(x)=\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{k}{{n \choose k}}x^k=-\frac{x }{n}\, _2F_1(2,2;1-n;x)$ podria ayudar pero me equivoque!
$(1-n)$ siendo el tercer parámetro de $_2F_1$ , divergirá.

Joshua P. Swanson · Answer 1

Se ajusta a una buena función generadora exponencial:

\begin{aligned} \sum_{norte = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{norte} (- 1)^{k} \frac{k}{(\binom{norte}{k})} X^{norte} & = \sum_{norte = 0}^{\infty} (\sum_{k = 0}^{norte} (- 1)^{k} (k + 1)! (norte - k)!) \frac{X^{norte}}{norte!} \\ = \frac{\frac{((X - 3) X - 2) X^{2}}{(X - 1) (X + 1)^{2}} + 2 registro (1 - X) + 2 registro (X + 1)}{X^{3}} \end{aligned}

$\begin{align*} \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{k}{\binom{n}{k}} x^n &= \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n (-1)^k (k+1)! (n-k)! \right)\frac{x^n}{n!} \\ &= \frac{\frac{((x-3) x-2) x^2}{(x-1) (x+1)^2}+2 \log (1-x)+2 \log (x+1)}{x^3} \end{align*}$ donde la segunda línea es lo que escupe Mathematica; Presumiblemente, es relativamente sencillo reproducir el resultado a mano. En cualquier caso, buscas el coeficiente de

x^{n}

$x^n$ , que es un ejercicio sencillo aunque un poco tedioso en fracciones parciales y series de Taylor. Rellenar los detalles y organizarlos bien es probablemente de la misma longitud que su enfoque integral, aunque esto tiene la ventaja de utilizar herramientas de funciones generadoras más genéricas.

Encontrar ∑nk=0(−1)kk(nk)∑k=0n(−1)kk(nk)\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{k}{n \ elige k}, cuando nnn es un entero positivo

Z Ahmed

Claudio Leibovici

Z Ahmed

Claudio Leibovici

Respuestas (1)

Joshua P. Swanson

Evaluando ∑∞y=a(ya)⋅py−a∑y=a∞(ya)⋅py−a\sum_{y=a}^{\infty}{y \choose a} \cdot p^{ya} para p∈[0,1]p∈[0,1]p \en [0,1]

Una suma binomial: ∑nk=0(nk)2k+1∑k=0n(nk)2k+1\sum_{k=0}^{n} \frac{{n \choose k}^2}{k+ 1}

Suma de expansión binomial con factores multiplicativos

Pregunta de prueba de suma binomial/combinatoria

Tratar con un término no constante en la pregunta del teorema del binomio

Evaluar una suma con coeficientes binomiales: ∑nk=0(−1)kk(nk)2∑k=0n(−1)kk(nk)2\sum_{k=0}^{n} (-1)^kk \binom{n}{k}^2

Calcular ∑∞i=0i(i+10i)(12)i∑i=0∞i(i+10i)(12)i\sum_{i=0}^\infty i\binom{i+10}{i }(\frac{1}{2})^i

Alternancia de suma binomial central desplazada con pesos de Cauchy

Una suma binomial interesante

Demuestre esta identidad utilizando la identidad de producto triple de Jacobi