Calcular ∑∞i=0i(i+10i)(12)i∑i=0∞i(i+10i)(12)i\sum_{i=0}^\infty i\binom{i+10}{i }(\frac{1}{2})^i

Question

Calcular ∑∞i=0i(i+10i)(12)i∑i=0∞i(i+10i)(12)i\sum_{i=0}^\infty i\binom{i+10}{i }(\frac{1}{2})^i

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suma
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secuencias y series
coeficientes binomiales

Cauchy_boi

No soy bueno con la sumatoria y sus diversas técnicas, así que no me hagas caso. Si alguien me puede señalar en la dirección correcta, estaría muy agradecido.

Esta es la suma en el modo de visualización:

\sum_{i = 0}^{\infty} i (\binom{i + 10}{i}) \frac{1}{2^{i}}

$\sum_{i=0}^\infty i\binom{i+10}{i}\frac{1}{2^i}$

Al usar la regla de simetría para coeficientes binomiales termino con esto:

\frac{1}{10!} \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{i}{2^{i}} \prod_{k = 1}^{10} (k + i)

$\frac{1}{10!}\sum_{i=0}^\infty \frac{i}{2^i}\prod_{k=1}^{10}(k+i)$ que no parece ayudar. Traté de trabajar algo más en el binomio para deshacerme de i y obtuve:

11 \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{1}{2^{i}} (\binom{i + 10}{i - 1})

$11\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{2^i}\binom{i+10}{i-1}$ pero una vez más, estoy atascado.
¿Tengo la sensación de que de alguna manera tengo que simplificar la suma y luego usar el método recursivo?

Respuestas (2)

Calcular ∑∞i=0i(i+10i)(12)i∑i=0∞i(i+10i)(12)i\sum_{i=0}^\infty i\binom{i+10}{i }(\frac{1}{2})^i

Henno Brandsma · Answer 1

Sugerencia : una serie conocida (ver aquí , por ejemplo) es:

\frac{1}{(1 - X)^{11}} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{10 + k}{k}) X^{k}

$\frac{1}{(1-x)^{11}} = \sum_{k=0}^\infty \binom{10+k}{k}x^k$

Su derivado está cerca de lo que quieres:

\frac{d}{d X} \frac{1}{(1 - X)^{11}} = \sum_{k = 1}^{\infty} k (\binom{10 + k}{k}) X^{k - 1}

$\frac{d}{dx} \frac{1}{(1-x)^{11}} = \sum_{k=1}^\infty k\binom{10+k}{k}x^{k-1}$ Al final evaluar en

x = \frac{1}{2}

$x=\frac12$ por supuesto.

Gracias por la pista, creo que nunca usé el teorema generalizado, así que lo aprendí ahora.

usuario · Answer 2

Pista:

Puedes notar que

\sum_{i \geq 0} i (\binom{10 + i}{i}) X^{i} = X \frac{d}{d X} \sum_{i \geq 0} (\binom{10 + i}{i}) X^{i},

$\sum_{i\ge0}i\binom{10+i}i x^i= x\frac{d}{dx}\sum_{i\ge0}\binom{10+i}i x^i,$ Reduciendo el problema a series conocidas.

$= X \frac{d}{d X} \sum_{i \geq 0} (\binom{- 11}{i}) (- X)^{i} = X \frac{d}{d X} \frac{1}{(1 - X)^{11}} = {\frac{11 X}{(1 - X)^{12}} |}_{X = \frac{1}{2}} = 22528.$ $=x\frac{d}{dx}\sum_{i\ge0}\binom{-11}i (-x)^i=x\frac{d}{dx}\frac1{(1-x)^{11}}=\left.\frac{11x}{(1-x)^{12}}\right|_{x=\frac12}=22528.$

Calcular ∑∞i=0i(i+10i)(12)i∑i=0∞i(i+10i)(12)i\sum_{i=0}^\infty i\binom{i+10}{i }(\frac{1}{2})^i

Cauchy_boi

Respuestas (2)

Henno Brandsma

Cauchy_boi

usuario

Sobre la regla generalizada de Leibniz

Evaluando ∑∞y=a(ya)⋅py−a∑y=a∞(ya)⋅py−a\sum_{y=a}^{\infty}{y \choose a} \cdot p^{ya} para p∈[0,1]p∈[0,1]p \en [0,1]

Calcula la forma cerrada de la siguiente serie

Una suma binomial: ∑nk=0(nk)2k+1∑k=0n(nk)2k+1\sum_{k=0}^{n} \frac{{n \choose k}^2}{k+ 1}

Problema de suma numérica.

Encontrar ∑nk=0(−1)kk(nk)∑k=0n(−1)kk(nk)\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{k}{n \ elige k}, cuando nnn es un entero positivo

Evaluar una suma con coeficientes binomiales: ∑nk=0(−1)kk(nk)2∑k=0n(−1)kk(nk)2\sum_{k=0}^{n} (-1)^kk \binom{n}{k}^2

Alternancia de suma binomial central desplazada con pesos de Cauchy

Evalúa limn→∞(∑nr=02r52r+1)limn→∞(∑r=0n2r52r+1)\lim_{n\to \infty} \left( \sum_{r=0}^n \frac {2^r {5^{2^r}+1}\derecha)

Una suma binomial interesante