Conexión formal entre simetría y ley de Gauss

En el tratamiento estándar de pregrado de E&M, la Ley de Gauss se establece vagamente como "el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga encerrada". De manera equivalente, en forma diferencial y en términos de potencial (en el caso estático):

∇ 2 ϕ = − ρ ϵ 0

Ahora, cuando se usa la forma integral, normalmente se usan las simetrías de una distribución de carga conocida para deducir las simetrías relacionadas en el campo eléctrico, lo que permite que la magnitud del campo se factorice fuera de la integral. Para hacerlo, generalmente se confía en argumentos intuitivos y heurísticos sobre cómo "debería" comportarse el campo en cuestión. 1 .

Me pregunto cómo se formaliza esta noción en términos matemáticos precisos. En particular, parece que debería haber un enunciado equivalente para la ley de Gauss en forma diferencial, en la línea de " simetrías en ρ inducir simetrías relacionadas en ϕ ". ¿Hay alguna forma de enunciar formalmente esta afirmación? En particular:

  1. ¿Cómo se formularía una prueba de las condiciones (necesarias y suficientes) bajo las cuales una simetría de ρ induce una simetría en ϕ ?
  2. Cuando existe, ¿cómo se expresa explícitamente la simetría inducida en términos de la simetría conocida?
  3. ¿Se puede generalizar tal resultado para EDP lineales arbitrarias cuyos términos fuente muestren alguna simetría?

Me parece que debe existir una forma concisa, elegante y general de afirmar y probar lo anterior, pero parece que no puedo conectar todos los puntos en este momento.

1 Ver, por ejemplo, en Griffiths, Ejemplo 2.3, p. 72: " Supongamos, digamos, que apunta directamente al este, en el 'ecuador'. Pero la orientación del ecuador es perfectamente arbitraria: nada gira aquí, por lo que no hay un eje natural "norte-sur", cualquier argumento que pretenda demostrar que mi los puntos al este también podrían usarse para mostrar que apunta al oeste, al norte o en cualquier otra dirección. La única dirección única en una esfera es radial. "

Tengo una pregunta de continuación... La simetría rota, donde la simetría de una solución es menor que la simetría de la ecuación, es común en la teoría cuántica de campos. ¿Por qué no sucede en, digamos, la electrostática clásica?
Si realmente quiere decir algo simple de una manera más formal, tal vez piense en las simetrías como operadores que actúan en algún espacio de funciones. Si el operador asigna una función a sí mismo, es simétrica. Si el operador conmuta con el laplaciano (o cualquiera que sea su diff eq), entonces su ecuación es simétrica. Entonces es fácil ver que si una función en un lado de una ecuación simétrica es simétrica, el otro debe serlo.

Respuestas (1)

Dejar D Sea el operador correspondiente a su ecuación ( − ϵ 0 ∇ 2 en este caso). Dejar tu ser algún operador correspondiente a la simetría. Puede ser una transformación de rotación o paridad, etc.

Si tu F = F , decimos la función F es simétrico

Si tu D = D tu como operadores, entonces decimos que su ecuación es simétrica.

Dejar, D F = gramo . Si D es simétrico y gramo es simétrico, entonces podemos mostrar fácilmente D F = D tu F . Si podemos tomar una inversa de D hemos probado F es simétrico

Tomando un inverso de D es lo mismo que poder resolver la ecuación de forma única. En su caso particular, podemos resolver la ecuación de manera única si restringimos nuestro espacio de funciones para que tenga algunas condiciones de contorno, por ejemplo, que desaparezca en el infinito.

Así que este es el ejemplo que tenías en mente y esta es una formalización del argumento de que ϕ debe ser simétrico.

Ahora bien, si no podemos resolver la ecuación de manera única, entonces puede haber una laguna en el argumento. Un caso particular que tengo en mente es un monopolo magnético que es rotacionalmente simétrico, pero la solución de potencial vectorial tiene una cuerda de Dirac y no lo es. Pero dos soluciones cualesquiera F y tu F en este caso están conectados por una transformación de calibre.

Esa escapatoria es (creo, si entiendo bien) el punto en el que estoy atascado. Para mí está perfectamente claro que, si su ecuación tiene cierta simetría, entonces actuar sobre alguna solución particular F con el operador de simetría relevante produce otra solución particular tu F , pero el requisito más fuerte de que estas dos soluciones son, de hecho, iguales no parece seguirse de manera directa, si es que lo hace. Supongo que lo que estoy buscando es un tratamiento más detallado de cómo/cuándo lo primero implica lo segundo.
No creo que estuvieras tocando la laguna en tu pregunta. En su ejemplo particular, el argumento de que ϕ es simétrico es válido. Edité mi respuesta para que sea más clara (es por eso que prefiero responder en los comentarios por cierto)
Conexión formal entre simetría y ley de Gauss
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v