¿Por qué el campo eléctrico dentro de una esfera hueca es cero pero no para un anillo?

Tengo esta pregunta simple pero intrigante que me llamó la atención a través de un electromagnetismo introductorio. Al estar familiarizado con la Ley de Gauss y la Ley de Coulomb, el ejercicio de "Carcasa esférica cargada" es algo muy común para mí. Una cosa particular para este ejercicio es que si usa cualquier método (al menos hasta donde yo sé), ya sea un Gaussiano simple o una coord esférica recalcitrante. Integración de la ley de Coulomb, se obtiene el mismo resultado. Campo eléctrico cero en cualquier punto dentro de la carcasa. Pero un día pensé: "¿Qué pasa con los anillos cargados?".

Para mi sorpresa, y si mis cálculos no están equivocados, el campo eléctrico dentro del anillo era cero solo en el centro, pero distinto de cero en el resto (el plano del anillo). Un hecho aún más intrigante fue que ahora la Ley de Gauss y la Ley de Coulomb no estaban de acuerdo para este caso particular. Le llevé esta pregunta a un profesor y me dijo que no sabía qué decirme, pero me dijo que debía confiar en el resultado de la Ley de Coulomb, siendo esta una ley experimental.

¿Por qué esto es tan? ¿No podría hacer un arreglo "esférico" de anillos cargados para hacer una capa esférica cargada? ¿Qué me estoy perdiendo? Recuerde que solo he pasado por un curso introductorio.

Sin sus cálculos, es difícil decir qué salió mal y dónde. Tienes razón en que el campo eléctrico dentro de un anillo no es cero. Sin embargo, sospecho (fuertemente) que esto no viola la ley de Gauss. La ley de Gauss tiene algunas sutilezas cuando no dibujas una superficie 3D. Vea esto: physics.stackexchange.com/q/44515
ley de Gauss = ley de Coulomb; revisa esta respuesta para saber más.

Respuestas (3)

Para cualquier punto dentro de una esfera con carga uniforme, la suma de toda la superficie de la esfera da como resultado un campo eléctrico cero. Esto se debe a que se puede hacer un argumento de simetría, que cada fuerza de una diminuta parte del área cargada de la esfera se equilibra con una proyección de esa área a través del punto de interés, sobre un área en el lado opuesto de la esfera. Las áreas estarán en proporción al cuadrado de su distancia desde el punto, por lo que las fuerzas de tracción y empuje (proporcionales a la carga/R**2) están en equilibrio. Después de integrar sobre toda la esfera, debe obtener un campo neto cero.

Para un anillo, el argumento de simetría similar no se sostiene, porque las partes opuestas del anillo tienen carga en proporción a la distancia, NO al cuadrado de la distancia. La situación de simetría más similar, un cilindro infinito uniformemente cargado, también obtiene un campo interno cero.

La ley de Gauss da el mismo resultado que el argumento de simetría para la esfera y el cilindro. No sé cómo aplicarlo a un anillo.

"porque las partes opuestas del anillo tienen carga en proporción a la distancia, NO al cuadrado de la distancia" ¿ Podrías explicar esto un poco más? Me parece que el hecho de que una capa esférica tenga área no tiene nada que ver con un cambio en la naturaleza del campo eléctrico.
No existe un argumento viable que diga que un anillo con carga uniforme tiene un campo cero 'dentro' del anillo. Sin embargo, en tres dimensiones, PUEDE argumentar a favor de un cilindro. La escala es parte del argumento, pero en el caso del anillo no produce una cancelación frente a la distancia del cuadrado inverso.
En un caso extremo, si uno elige un punto de prueba muy cerca del anillo, tendrá un campo muy similar a una línea de carga infinita (solo curva, si la sigue el tiempo suficiente). Entonces, ya sea adentro o afuera, junto al anillo deberías esperar un campo E que cae como 1/r. A distancias suficientemente pequeñas del anillo, las partes distantes están demasiado lejos para importar.

Tiene razón en que el campo eléctrico es solo cero en el centro exacto del anillo. La ley de Gauss y la ley de Coulomb siempre dan los mismos resultados en todas las situaciones, así que si entiendes que no están de acuerdo, entonces cometiste un error. Es casi seguro que te equivocaste en el cálculo de la ley de Gauss, porque no puedo pensar en ninguna forma de usar la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico en esta situación particular.

Esto no se acerca a un argumento riguroso, pero aquí hay una forma de motivar por qué es más natural esperar que el campo eléctrico sea cero en todas partes dentro de una esfera que un anillo: una esfera separa limpiamente el espacio en dos regiones diferentes, la "adentro" y "afuera", por lo que parece razonable que el campo eléctrico sea cualitativamente diferente en las dos regiones. Un anillo no lo hace, por lo que sería un poco extraño si el campo eléctrico desapareciera por todas partes en el plano del anillo y dentro de él; si te mueves un poquito fuera del plano del anillo, ¿todavía estás "dentro" de él? ¿Dónde está exactamente el límite del "interior" de un anillo? De alguna manera necesitaría que el campo fuera idénticamente cero en todas partes en el plano del anillo, pero comience a variar enormemente en magnitud y dirección tan pronto como se salga un poco del avión. Eso sería raro.

"La ley de Gauss y la ley de Coulomb siempre dan los mismos resultados en cada situación, así que si entiendes que no están de acuerdo, entonces cometiste un error" El cálculo de mi ley de Gauss fue simplemente encerrar el interior del anillo con una esfera de radios muy cercanos a los radios del anillo. ¡Gracias por tu percepción de todos modos! Es interesante pensar en su argumento, y tiene sentido, aunque sería mejor una respuesta más sólida. ¿Algún libro que recomiendes sobre el tema?
@zickens No entiendo muy bien: si la esfera está centrada en el centro del anillo y tiene un radio más pequeño que el radio del anillo, entonces no encierra ninguna carga, por lo que la ley de Gauss no solo da esa superficie. integral del campo eléctrico sobre la esfera es cero? ¿Estoy malinterpretando su configuración?
Eso es exactamente lo que me desconcierta. La Ley de Gauss no encierra carga, por lo tanto el campo eléctrico resulta cero . Sin embargo, con la Ley de Coulomb, obtenemos que el campo eléctrico es distinto de cero. Esta diferencia en el resultado podría muy bien ser un error en mi razonamiento, ya que solo he realizado un curso introductorio. Pero aún así, me desconcierta, y esta diferencia en particular es lo que motiva mi pregunta.
@zickens As, ahora entiendo la falla en tu razonamiento. La ley de Gauss te dice que la integral de superficie del campo eléctrico sobre toda la esfera es cero, pero eso no significa que el campo eléctrico sea cero en todas partes de la esfera. No estoy seguro de qué tan familiarizado estás con las integrales de superficie, pero la idea es que el campo eléctrico hace una contribución positiva a la integral cuando apunta fuera de la esfera y una contribución negativa cuando apunta dentro de la esfera. En su caso, el campo eléctrico apunta hacia adentro a lo largo del "ecuador" de la esfera y hacia afuera a lo largo de sus "polos". ...
... Y resulta que cuando lo sumas todo correctamente, las contribuciones que apuntan hacia afuera y las contribuciones que apuntan hacia adentro se cancelan exactamente entre sí, por lo que el resultado neto es cero. Solo cuando tiene algún argumento de simetría de que el campo eléctrico siempre debe apuntar directamente hacia afuera de la superficie gaussiana (como en el caso de una esfera de carga) puede reducir la integral de superficie ∮ mi ⋅ d S a un producto sencillo mi × A . El libro de texto de Purcell ofrece una buena explicación visual de las integrales de superficie.
¡Entendido! Lea sobre la versión integral de la Ley de Gauss y ahora tiene mucho sentido. E y d S no son paralelos para todos los puntos de la superficie gaussiana. ¡Gracias!
No creo que tu argumento funcione: si la ley no dependiera del cuadrado de la distancia inversa a la fuente sino de la distancia inversa, sería 0 para el anillo pero no para la esfera. También en 4 dimensiones todavía se mantendría para la esfera 2 que no separa el espacio en dos partes (y no para la esfera 3, que lo hace)
@doetoe Es por eso que lo llamé "motivación" y dije explícitamente que no era un argumento riguroso :-). Hay un sentido en el que es más "natural" que el campo eléctrico caiga como r 1 − d en d dimensiones, porque entonces obtienes la ley de Gauss y mi argumento funciona. Pero, por supuesto, podrías imaginar un universo con d ≠ 3 dimensiones donde se aplican otras leyes.

Dada una esfera o anillo con cargas en la superficie o perímetro pero sin cargas interiores, cada punto interior está en la superficie de una esfera de menor radio concéntrica con la esfera o anillo original. La prueba habitual con Gauss de que mi = 0 dentro de la esfera, o de manera equivalente que = 0 a través de la superficie de la esfera interior, se basa en la simetría esférica del problema.

Dado que un anillo carece de simetría esférica, no podemos probar un campo eléctrico esféricamente simétrico en la superficie de dicha esfera interior (que se extiende más allá del plano del anillo, pero corta dicho plano con un círculo encerrado en el anillo). La simetría 2D del problema tampoco prueba una simetría 2D alrededor del "ecuador" de tal esfera que permitiría probar que el campo se anula en dicho ecuador.

El cálculo en el ring se analiza aquí utilizando Coulomb.

¿Por qué el campo eléctrico dentro de una esfera hueca es cero pero no para un anillo?
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