Uso de la simetría en la Ley de Gauss

La dirección del campo viene dada por el signo de la carga. Puede ser hacia afuera o hacia adentro.

Sus argumentos no están en el orden correcto:

Primero, prueba por simetría que el campo es radial y depende solo de la distancia al centro O :$\vec{E}=E(r)\vec{e_r}$. Tenga en cuenta que$E(r)$es una cantidad algebraica: no necesitas saber su signo.

Luego, elige una superficie de Gauss adaptada a esta simetría: aquí, una esfera centrada en O. Con esta elección de superficie de Gauss, el flujo eléctrico se escribe de manera muy simple$\Phi=4\pi r^2E(r)$y el campo se determina completamente$E(r)=Q_{int}/4\pi \varepsilon r^2$.

El teorema de Gauss te da el campo con su signo: la componente radial es positiva si$Q_{int}$es positivo.

Dejar$\,r\,$ser el radio de una superficie esférica con densidad de carga superficial uniforme $\,\sigma\boldsymbol >0\,$así con cargo$\,q\boldsymbol=4\,\pi\,r^2\sigma\boldsymbol >0$. Entonces, el campo dentro de esta superficie esférica es cero, mientras que el campo exterior es el mismo que si la carga$\,q\boldsymbol >0\,$se concentra en el centro de la esfera por lo que se dirige hacia el exterior.

Para el caso de un punto en el interior de una esfera sólida (bola) con densidad de carga volumétrica uniforme $\,\rho\boldsymbol >0\,$Piense que el campo debido a la suma (integral) de las capas esféricas más allá del punto de referencia tiene contribución cero mientras que el campo debido a la suma (integral) de las capas esféricas debajo del punto de referencia tiene una contribución dirigida hacia afuera como si la carga de la esfera sólida debajo del punto de referencia se concentra en el centro. por supuesto si$\,\rho\boldsymbol <0\,$entonces el campo se dirige hacia adentro.

Por otro argumento: si una superficie lisa cerrada como una esfera de radio$\,R\,$está orientado con su normal$\,\mathbf n\,$dirigido hacia afuera entonces por la ley de Gauss para el flujo eléctrico$\,\Phi\boldsymbol=Q/\epsilon_0\,$dónde$\,Q\,$la carga eléctrica encerrada. Pero$\,\Phi\boldsymbol=4\,\pi\,R^2 E\boldsymbol=Q/\epsilon_0\,$dónde$\,E\,$la proyección algebraica de$\,\mathbf E\,$en$\,\mathbf n\,$en cada punto de la superficie$\,E\boldsymbol=\mathbf E\boldsymbol\cdot\mathbf n$. Entonces$\,E\,$debe tener el signo de$\,Q$.

Para el campo eléctrico debido a una carga puntual, por la ley de Coulomb, la dirección del campo apunta desde el punto de carga al punto de campo a lo largo de la línea recta, que es radialmente hacia afuera.