¿Cómo explica el hecho de que el campo apunte en una dirección particular cuando la densidad de carga es uniforme? [duplicar]

En primer lugar, su campo no es uniforme. Tienes

$$\vec E(\vec x) = \begin{pmatrix} a x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \,.$$

Eso se ve así:

Esto significa que para mayores$x$el campo es más fuerte y para$x \to - \infty$el campo será muy negativo.

La densidad de carga es$\rho = \varepsilon \vec \nabla \cdot E$, que de hecho es justo$\varepsilon a$. De hecho, esto parece extraño ya que se pierde toda la información sobre la dirección. Supongamos que tenemos otro campo eléctrico como este:

$$\vec E(\vec x) = \begin{pmatrix} 0 \\ ay \\ 0 \end{pmatrix} \,.$$ Esto tendría la misma densidad de carga asociada con él.

Puede sonar como una contradicción, pero la respuesta es que la densidad de carga no especifica únicamente los campos eléctricos. Esto se puede ver más fácilmente al pensar en una configuración de carga particular en un espacio vacío. El campo eléctrico resultante será único. Ahora ponga lo mismo en un capacitor enorme y agregue un campo eléctrico adicional. Esto no se tiene en cuenta por la densidad de carga local .$\rho$que se puede obtener del campo eléctrico.

Siempre puede agregar una función armónica (es decir,$\vec \nabla^2 \phi(x) = 0$) al potencial sin alterar la configuración de carga ya que$\rho \propto \vec \nabla^2 \phi$. Entonces podemos pasar de uno$\vec E$al otro$\vec E$agregando el campo

$$\tilde{\vec E}(\vec x) = \begin{pmatrix} -ax \\ ay \\ 0 \end{pmatrix} \,.$$ El potencial que genera esto está definido por $\tilde{\vec E} = - \vec \nabla \cdot \tilde \phi$. Esta diferencia de potencial podría ser $$\tilde \phi = - \frac a2 x^2 + \frac a2 y^2 \,.$$ ves eso $\vec \nabla^2 \tilde \phi = 0$. Por lo tanto, esto no cambia la densidad de carga, pero sí cambia el campo.

Para obtener un campo eléctrico único a partir de una configuración de carga, debe especificar las condiciones de contorno . Pueden ser el valor de$\phi$en algún límite del valor de$\vec E$(que es la derivada de$\phi$. La densidad de carga por sí sola no da un campo único.

Una condición de contorno común es que el campo tiende a cero en el infinito. Esto es lo que he dado a entender cuando dije que la configuración de carga debe estar en "espacio vacío".