¿Una prueba de que si A es un anillo local, entonces el conjunto de no unidades es un ideal, sin usar el Lema de Zorn?

Question

¿Una prueba de que si A es un anillo local, entonces el conjunto de no unidades es un ideal, sin usar el Lema de Zorn?

ideales
anillos-locales
Matemáticas
teoría del anillo
álgebra abstracta
ideales maximales y primos

sam gue

necesito probar que si $A$ es un anillo local, entonces el conjunto de no unidades forma un ideal. Para hacer esto, se sugiere que debería usar el lema de Zorn, pero parece que he encontrado una manera de prescindir de él. En particular, consideramos la sugerente notación $I:=A\setminus A^\times$ , entonces supongamos que existe un ideal $J$ de $A$ con

⟨ I ⟩ ⊊ j \subseteq A

$\langle I\rangle\subsetneq J\subseteq A$ Entonces, desde

I \subseteq ⟨ I ⟩ ⊊ J

$I\subseteq\langle I\rangle\subsetneq J$ , el ideal

J

$J$ debe contener una unidad, entonces

J = A

$J=A$ , significado

⟨ I ⟩

$\langle I\rangle$ es máximo en

A

$A$ . Desde

A

$A$ es local con ideal máximo único

m

$\mathfrak{m}$ , debemos tener eso

m = ⟨ I ⟩

$\mathfrak{m}=\langle I\rangle$ . Entonces sí

m \in m

$m\in\mathfrak{m}$ , desde

m \neq A

$\mathfrak{m}\neq A$ ,

m

$m$ debe ser una no unidad, y así

m \in I

$m\in I$ . Entonces para

i \in I

$i\in I$ , claramente tenemos

i \in ⟨ i ⟩ \subseteq ⟨ I ⟩

$i\in\langle i\rangle\subseteq\langle I\rangle$ , entonces

i \in m

$i\in\mathfrak{m}$ . Estos se combinan para dar

I = m

$I=\mathfrak{m}$ , que es en sí mismo un ideal, lo que significa

I = A ∖ A^{\times}

$I=A\setminus A^\times$ es un ideal de

A

$A$ .

¿Es correcta mi prueba? ¿Estoy usando implícitamente el lema de Zorn aquí sin darme cuenta?

severin schraven

te queda comprobarlo

⟨ I ⟩ \neq A

$\langle I \rangle \neq A$ si quiere concluir que este es un ideal maximal.

Bernardo

¿Cuál es su definición de un anillo local?

José Avilez

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Respuestas (1)

¿Una prueba de que si A es un anillo local, entonces el conjunto de no unidades es un ideal, sin usar el Lema de Zorn?

te queda comprobarlo $\langle I \rangle \neq A$ si quiere concluir que este es un ideal maximal.
Después de hacer una pregunta aquí, si obtiene una respuesta aceptable, debe "aceptar" la respuesta haciendo clic en la marca de verificación $\checkmark$ junto a él. Esto suma puntos para usted y para la persona que respondió su pregunta. Puede obtener más información sobre cómo aceptar respuestas aquí: ¿ Cómo acepto una respuesta? , ¿ Por qué debemos aceptar respuestas? , ¿ Qué debo hacer si alguien responde a mi pregunta? .

eric wofsey · Answer 1

Su prueba está incompleta ya que no ha demostrado que $\langle I\rangle$ en realidad es un ideal apropiado (podría ser todo $A$ , en cuyo caso no sería un ideal maximal).

De hecho, esto no se puede demostrar sin el axioma de elección (suponiendo que defina "anillo local" como "anillo conmutativo con exactamente un ideal máximo"). Si no asume el axioma de elección, siempre puede existir un anillo conmutativo distinto de cero $B$ sin ideales máximos. Entonces, si tomas un campo $k$ , el anillo del producto $A=k\times B$ tendrá exactamente un ideal maximal, a saber $0\times B$ . Sin embargo, este ideal maximal no contiene todas las no-unidades de $A$ (en concreto, no contiene $(1,0)$ ). Y el conjunto de no unidades de $A$ no es un ideal, ya que $(1,0)$ y $(0,1)$ ambos no son unidades pero su suma $(1,1)$ es una unidad

¿Una prueba de que si A es un anillo local, entonces el conjunto de no unidades es un ideal, sin usar el Lema de Zorn?

sam gue

severin schraven

Bernardo

José Avilez

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eric wofsey

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