Dado un conjunto GGG, ¿cómo mostramos que es una base de Gröbner de un ideal III?

Mostrar$G$es una base de Groebner de$I$de hecho necesitas demostrar que$G$es un conjunto generador de$I$y eso$S(g_i,g_j) \xrightarrow{G} 0$para todos$i<j$(criterio de Buchberger).

Generalmente$G$se crea utilizando un algoritmo como el algoritmo de Buchberger, que comienza con$G$siendo el conjunto de generadores de$I$y sólo añade elementos que pertenecen al mismo ideal. En este caso es obvio que$G$es un conjunto generador de$I$. Además, pasos como la reducción aseguran que$G$sigue siendo un conjunto generador de$I$.

Cuando$G$se da de la nada, su amigo tiene razón en que necesita verificar ambas inclusiones en$I = \langle G \rangle$. Al reducir los generadores de$I$con respecto a$G$y encontrando cero, demuestras que$I \subset \langle G \rangle$. Ahora queda demostrar que$\langle G \rangle$no es mas grande que$I$. Para esto, primero puede usar la información adicional que encontró durante el paso de reducción. si decimos$I = \langle f_1, f_2, f_3 \rangle$y$G = \{g_1,g_2,g_3,g_4\}$, entonces al reducir$f_1$con respecto a$G$realmente encuentras$f_1 = g_1 - g_2$, y de manera similar$f_2 = g_1 - g_3$,$f_3 = g_1$. Ahora es claro, al resolver el sistema lineal, que$g_1 = f_3, g_2 = f_3 - f_1, g_3 = f_3 - f_2$entonces$\langle g_1,g_2,g_3 \rangle \subset I$.

Queda por mostrar$g_4 \in I$. Para esto puedes poner$G' = \{f_1,f_2,f_3\}$y comenzar a ejecutar el algoritmo de Buchberger (calcular un polinomio S y reducirlo con respecto a$G'$, y si la reducción es distinta de cero, súmela a$G'$, y repita con el nuevo$G'$, hasta que todos los polinomios S se reduzcan a cero). Todos los elementos encontrados de esta manera estarán en$I$(se deduce de la definición de S-polinomio y reducción). Durante este proceso también se pueden reducir los elementos con respecto a$G$para expresarlos en términos de$g_1,g_2,g_3,g_4$. Quiere encontrar un elemento que se exprese usando un coeficiente invertible multiplicado por$g_4$, más posiblemente cualquier otro término (por lo que la ecuación se puede resolver para$g_4$). En tu caso obtenemos$S(f_1,f_2) \xrightarrow{G'} f_4 = g_3 - g_2$y ponemos$G' := G' \cup \{f_4\}$, entonces$S(f_1,f_3) \xrightarrow{G'} f_5 = -g_3$y ponemos$G' := G' \cup \{f_5\}$, y finalmente podemos encontrar$S(f_4,f_5) \xrightarrow{G'} f_6 = g_4$, entonces$g_4$pertenece a$I$.

Tenga en cuenta que al hacer esto casi hemos vuelto a calcular una base de Groebner, por lo que es bastante ineficiente. Por lo general, las bases de Groebner no caen del cielo; más bien por su construcción sabrás que son un grupo electrógeno para el ideal.

Con respecto a su intento: Reducir los elementos de$G$con respecto a los generadores de$I$generalmente no es muy útil, ya que los generadores de$I$generalmente no forman una base de Groebner, por lo que el resultado de la reducción no se determina de manera única (puede depender del orden en que se reduce), y no se garantiza que obtenga cero cuando la entrada pertenece a$I$.