Definición: ideal rng versus ideal algebraico en un álgebra C∗C∗C^* no unitaria

Cuando pasé por primera vez al álgebra de operadores, equipado con los conceptos básicos del álgebra abstracta, encontré la siguiente definición de ideales:

Definición (ideales del álgebra). Un ideal izquierdo (respectivamente, derecho ) en un álgebra$A$es un subespacio vectorial$I$de$A$tal que

$$a\in A\quad\text{and}\quad b\in I \quad \implies\quad ab\in I\qquad\text{(respectively, $ba\in I$)}.$$ Un ideal en $A$es un subespacio vectorial que es simultáneamente un ideal izquierdo y derecho en $A$.

(Esta definición está tomada del libro de texto de Murphy$C^*$-álgebras y teoría de operadores . Cabe señalar que álgebra en este caso significa álgebra asociativa sobre$\mathbb{C}$, no necesariamente conmutativa o con unidad .)

En gran medida, las matemáticas son el arte de hacer las definiciones correctas, y es intuitivamente claro para mí que queremos$I$ser un subespacio. Sin embargo, no puedo dejar de preguntarme si lo anterior es o no equivalente a la noción de un ideal rng en$A$:

Definición (rng ideales). Un ideal rng izquierdo (respectivamente, derecho ) en un álgebra$A$es un subgrupo aditivo$I$de$A$tal que

$$a\in A\quad\text{and}\quad b\in I \quad \implies\quad ab\in I\qquad\text{(respectively, $ba\in I$)}.$$ Un anillo ideal en $A$es un subgrupo aditivo que es simultáneamente un ideal izquierdo y derecho en $A$.

(La única diferencia es que la suposición del subespacio se reemplaza por la suposición del subgrupo más débil).

Ahora bien, si el álgebra es unitaria, es fácil demostrar que estas dos nociones coinciden. Suponer que$I$es, digamos, un ideal de anillo izquierdo, entonces para todos$\lambda \in \mathbb{C}$y$b\in I$tenemos$\lambda b = (\lambda 1)b \in I$. Sin embargo, no está inmediatamente claro si estas definiciones son o no equivalentes si$A$no logra ser unitario.

Esta página de la Encyclopedia of Mathematics ofrece un ejemplo patológico que muestra que las definiciones no son equivalentes para las álgebras asociativas generales (o incluso las álgebras de Banach): si$ab = 0$para todos$a,b\in A$, entonces cada subgrupo aditivo es un ideal rng, pero solo los subespacios son ideales de álgebra. Esto responde parte de mi pregunta.

Sin embargo, dado que estoy principalmente interesado en$C^*$-álgebras, queda la siguiente pregunta:

Pregunta. ¿Hay ejemplos de ideales rng en$C^*$-¿Álgebras que no logran ser ideales de álgebra?

En este escenario, se descarta el ejemplo patológico de antes, por la identidad$\lVert a^*a\rVert = \lVert a\rVert^2$.