¿Cuándo se aplica la ley de cancelación para el anillo?

Dejar R ser un anillo arbitrario. Ahora, asumimos que no sabemos si R tiene la identidad multiplicativa o no.

Yo sé eso R no tiene divisores de cero si y solo si se cumple la ley de cancelación. Entonces, supongamos R no tiene divisores de cero. Considere para un elemento distinto de cero a ∈ R , a b = a para algunos b ∈ R . Ahora, quiero solicitar la ley de cancelación , pero, si es así, tenemos b = 1 , dónde 1 es la identidad multiplicativa de R .

Creo que es falso porque no sabemos si el anillo tiene la unidad.

Por lo tanto, me pregunto cuándo se aplica la ley de cancelación.

Como ejemplo, considere los números pares, que no tienen divisores de cero, obedecen la ley de cancelación para elementos distintos de cero y no tienen identidad multiplicativa. Un anillo finito que obedece la ley de cancelación tendrá un elemento tal que a b = a - solo multiplica a por todos los elementos a su vez. Por cancelación, estos deben ser distintos. Así que cada elemento está incluido. Y esto incluye a .

Respuestas (3)

Si a b = a y R no tiene divisores de cero, entonces para cualquier C ∈ R

a ( b C ) = ( a b ) C = a C ,
entonces b C = C . Entonces R tiene una unidad, y es b .

actualización C b = C mantiene también desde ( C b ) d = C ( b d ) = C d .

También es cierto que C b = C ? Creo que tu conclusión es verdadera solo cuando R es conmutativo.
Dejar d sea ​​un elemento distinto de cero, entonces ( C b ) d = C ( b d ) = C d , entonces C b = C para cualquier C ∈ R .
Ah, entonces es cierto que si R no tiene divisores de cero, entonces R tiene la unidad?
Si R no tiene divisores de cero y a b = a para algunos a ≠ 0 y b , entonces sí, tiene la unidad.

De a b = a no puedes concluir que b = 1 porque la ley de cancelación dice a b = a C implica b = C . Entonces, para usar la ley de cancelación en a b = a , tu tienes que escribir a como producto a C .

Ummm.... es posible usar la ley de cancelación cuando R no tiene unidad? es decir, si R no tiene divisores de cero, entonces la ley de cancelación se cumple independientemente de la existencia de la unidad de R ?
@JeongHobin, la forma en que leo la ley de cancelación es que el mapa X ↦ a X es inyectable para todos a . Si uno de estos mapas no es inyectivo, entonces hay cero divisores. Recíprocamente, si hay cero divisores a b = 0 , entonces ambos b y 0 están asignados a 0 bajo X ↦ a X .

La ley de cancelación se cumple además de un anillo, pero en la ley de cancelación de multiplicación se cumple si y solo si existe el inverso multiplicativo de ese elemento que desea cancelar de ambos lados

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