¿Son sobreyectivos los epimorfismos entre anillos completos locales noetherianos (en su categoría)?

Actualmente me enfrento a un problema que se resolvería instantáneamente si la respuesta a la pregunta en el título fuera verdadera.

Sé que este tipo de cosas generalmente no son ciertas, pero todos los contraejemplos que encontré de epimorfismos de anillos no sobreyectivos fueron:

1. no local o noetheriano (p. ej.$\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Q}$)
2. no ambos completos (cualquier anillo local noetheriano incompleto en su finalización)

Aparentemente, muchos epimorfismos de anillos son composiciones de cocientes (sobreyecciones), localizaciones y terminaciones. Entonces me parece que es posible que el resultado del título sea cierto.

¿Alguien ha oído hablar de algo así?

PD: he estado tratando de probar que son mapas de anillos finitos (porque un mapa de anillos si es sobreyectivo si es un epimorfismo finito) pero no lo he logrado; Pensé que tal vez usar Nakayama ayudaría, pero no puedo pensar en una solución.

PPS: para ser más claro: estoy en la categoría de anillos completos locales noetherianos con un campo de residuos fijo y con morfismos que tienen que inducir la identidad en los campos de residuos. Mi epimorfismo está en esta categoría.