Encontrar el núcleo del homomorfismo de anillos polinómicos

Question

Encontrar el núcleo del homomorfismo de anillos polinómicos

Matemáticas
polinomios
teoría del anillo
álgebra abstracta

UDAC

tengo el homomorfismo

F : C [X, y] \to C [X] \times C [y], F (pag (X, y)) = (pag (X, 0), pag (0, y))

$F : C[x,y] \to C[x] \times C[y],\space F(p(x,y)) = (p(x,0), p(0,y))$

El núcleo es claramente $\langle xy \rangle$ .

Si quiero mostrar eso $\langle xy \rangle = \ker(F)$ Necesito usar doble inclusión.

Primero: demostrar que $\langle xy \rangle$ es en $\ker(F)$ . tomo un $p(x,y)$ generado por $\langle xy \rangle$ , entonces $p(x,y) = xyq(x,y)$ ; $p(x,0) = 0$ y $p(0,y) = 0$ . Por lo tanto $(p(x,0),(0,y)) = (0,0)$ y esto es en $\ker(F)$ .

Mi problema comienza con la segunda parte, cuando necesito demostrar que $\ker(F)$ está incluido en $\langle xy \rangle$

Agradecería algún consejo sobre cómo solucionar este problema. Gracias.

usuario26857

Entonces, el núcleo es claramente el ideal generado por

x y

$xy$ , ¡pero fallaste en probar esto!

UDAC

Jaja, claramente de una manera intuitiva.

usuario26857

De todos modos,

p (x, 0) = 0

$p(x,0)=0$ si y si

p \in (y)

$p\in (y)$ y

p (0, y) = 0

$p(0,y)=0$ si y si

p \in (x)

$p\in(x)$ . Ahora tienes que demostrar que

(x) \cap (y) = (x y)

$(x)\cap(y)=(xy)$ .

Respuestas (1)

Encontrar el núcleo del homomorfismo de anillos polinómicos

Entonces, el núcleo es claramente el ideal generado por $xy$ , ¡pero fallaste en probar esto!
De todos modos, $p(x,0)=0$ si y si $p\in (y)$ y $p(0,y)=0$ si y si $p\in(x)$ . Ahora tienes que demostrar que $(x)\cap(y)=(xy)$ .

razivo · Answer 1

Dejar $\alpha\in \ker(F)$ no divisible por $xy$ .
implica que $\alpha = Qxy+ax+by+c$ tal que no todos $a,b,c$ son 0.
Desde $\alpha(x,0)=0$ , $ax+c=0$ , que en $0$ implica $c=0$ , y en $1$ implica $a=0$
Desde $\alpha(y,0)=0$ , $by+c=0 \implies by=0$ que en $1$ implica $b=0$ lo cual es una contradicción.

Encontrar el núcleo del homomorfismo de anillos polinómicos

UDAC

usuario26857

UDAC

usuario26857

Respuestas (1)

razivo

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